Skip to content

Объемный круг из бумаги: Как сделать объемный шар из бумаги на Новый год

Содержание

Как сделать объемный шар из бумаги на Новый год

Распечатать Спасибо, отличный урок +1

Елочный объемный новогодний шар из бумаги сделать вовсе не сложно своими руками. Ведь если знать несколько нюансов работы и этапы изготовления, то процесс превращается в приятное времяпровождение, когда вы создаете красивые декоративные элементы. Цветную бумагу можно брать любых тонов, а можно вовсе ее заменить на красивую декоративную для скрапбукинга.

Необходимые материалы:

  • Полукартон двух цветов
  • Канцелярский клей
  • Циркуль
  • Шнур
  • Карандаш
  • Ножницы

Поэтапный фото урок:

Для создания елочной игрушки в виде объемного шара используем цветную бумагу двух разных цветов. На ней рисуем кружки одинакового размера при помощи циркуля.

Вырезаем. Всего должно выйти 12 кружочков по 6 штук одного цвета.

Все кружочки одного цвета складываем вместе друг на друга. Сгибаем пополам стопку кружков желтого цвета. Подравняем края ножницами.

Также сгибаем стопку кружков зеленого цвета. Ровняем боковые края.

Начинаем создавать шар. Берем один элемент желтого цвета, а другой – зеленого.

Склеиваем их вместе.

Приклеиваем с правой стороны к зеленому элементу кружок желтого тона.

Затем после желтого приклеим вновь зеленый, чтобы чередовать цвета.

Так продолжаем до тех пора, пока все элементы не будут приклеены. Последний элемент приклеиваем к стенке первого желтого кружка.

Получаем вот такой объемный шар.

Из черного шнурка вырезаем небольшую часть.

Вставляем в середину и заливаем ее клеем для фиксации.

Елочная игрушка в виде объемного разноцветного шара из бумаги готова! Украсит вашу новогоднюю красавицу принесет праздничного настроения.

Видео урок

Как сделать шар из картона: пошаговый мастер класс

Большой привет всем читателям блога «ШколаЛа»!

Сегодня вторник, и по плану у нас мастер-класс. Расскажем вам, как сделать шар из картона. Красивый такой, яркий шар!

Эта поделка вполне подойдет для урока математики, если вдруг учитель попросит соорудить нечто объемное и геометрическое. Она может стать украшением интерьера детской комнаты. Да и на елку такой шар можно повесить, только видимо уже в следующем году.

Мы приступаем!

Для работы нам потребуется:

  • цветной картон;
  • ножницы;
  • циркуль;
  • карандаш;
  • линейка;
  • клей.

Для начала необходимо подготовить пару шаблонов. Для этого нужно вспомнить школьные уроки геометрии. Необходимо в окружность вписать треугольник. Помните, как это делать? Если не помните, то мы сейчас покажем. На самом деле ничего сложного.

Итак, берем картон. Циркулем чертим на нем две окружности. Чем больше радиус, тем крупнее получится шарик. Наш радиус = 3 см. На одной из окружностей ставим точку 1. В любом месте.

Теперь ставим ножку циркуля (ту, что с иглой) в точку 1 и проводим дугу радиусом 3 см (т.е. равным радиусу круга) так, чтобы эта дуга пересекла линию нашей окружности.

На пересечении дуги и окружности пишем цифру 2.

Затем ставим ножку циркуля в точку 2 и снова проводим дугу того же радиуса. И на пересечении ставим цифру 3.

Затем ножку циркуля ставим в точку 3, проводим дугу и находим точку 4.

Таким же образом определяем точки 5 и 6.

Соединяем по линейке 1 и 3, 3 и 5, 5 и 1. Получаем равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

Вырезаем наши шаблоны. Шаблоны используем для того, чтобы каждый раз не хвататься за циркуль и не заниматься многократным вписыванием треугольников. Все-таки, это не самое интересное занятие.

Из цветного картона по нашему круглому шаблону вырезаем 8 кружочков. Можно взять картон одного цвета, можно двух, мы сделали разноцветные круги.

Теперь переворачиваем наши кружочки нецветной стороной вверх. Прикладываем к ним треугольный шаблон и обводим его.

Так поступаем со всеми кругами.

Затем загибаем кружочки по прочерченным линиям. Получаем кругло-треугольные детальки, с загнутыми вверх «лепестками» и начинаем склеивать их друг с другом, так, как показано на картинке. Сначала склеиваем две.

Затем приклеиваем третью.

Затем четвертую.

Теперь золотистую и зеленую детальки нужно склеить друг с другом. Получается вот такая фигурка, похожая на шалаш.

А вот вид «шалаша» снизу.

С оставшимися четырьмя деталями поступаем точно также. В результате получаем два «шалашика».

И теперь просто склеиваем их друг с другом. Шарик готов!

Он получился совсем простой. Смастерить его можно очень быстро.

А может вам хочется чего-нибудь посложнее и посущественней? Тогда двигайтесь дальше! Смотрите продолжение нашего пошагового мастер-класса.

Сейчас попробуем соорудить шар не из 8, а из 20 деталей! Вырезаем 20 цветных кружочков, на изнаночной их стороне намечаем треугольники.

Готовим детальки.

Начинаем клеить. Сначала склеиваем 5 деталей.

Оранжевую и зеленую склеиваем между собой. Получаем «шалашик».

Берем еще пять деталей и приклеиваем их к нижним «лепесткам» «шалаша».

Вот таким образом должна выглядеть полученная фигурка, если смотреть снизу.

Теперь между самыми нижними «лепестками» нужно приклеить еще по одной детальке. Получится вот такая фигурка.

Если ее перевернуть, то будет похоже на горшочек.

У нас остались 5 свободных деталей. Склеиваем их между собой. Получилась «крышечка» для нашего «горшочка».

И приклеиваем «крышечку» сверху на наш шарик. Готово! И тоже ничего сложного.

Вообще, способов сделать шарик из картона много существует. Мы рассказали о самом, на наш взгляд, простом. Обещаем чуть позже познакомить вас и с другими способами. Так что лучше подпишитесь на новости блога, чтобы не пропустить новые мастер-классы.

Так же рекомендуем посмотреть уже готовые интересные кортонно-бумажные мастер-классы:

Приятного вам рукоделия!

Очень творческая команда блога «ШколаЛа»!

Объемный шар из бумаги

Сейчас очень модно украшать помещение в одной цветовой гамме, причем дешевле украшения для праздника сделать своими руками. Это может быть любое мероприятие, и каким бы ни был повод, такие украшения создадут праздничную атмосферу и поднимут настроение.

Нам понадобится: лист А4 − 1 шт.; гофрированная бумага (или тонкая цветная) − 20-25 листов А4; клей-карандаш; линейка; ножницы; нитка, иголка; цветные маркеры − 2 шт.; картон − один лист А4.

Можно с помощью циркуля, а можно используя круглую основу, нарисовать на картоне круг диаметром 20 см. Затем этот круг вырезать и разделить пополам. Это будет основа нашего шара.

Возьмите лист А4 и посередине проведите линию синего цвета. От этой линии на расстоянии 3 см нарисуйте красные линии. Так, чередуя, расчертите весь лист разноцветными линиями, оставляя между ними расстояние 3 см.

Мы будем делать не самый большой шар, а среднего размера, поэтому половины листа А4 цветной бумаги будет достаточно. Возьмите всю цветную бумагу и разрежьте пополам, чтобы получились листики формата А5. Получится 40-50 таких листиков.

Положите листик на расчерченный лист бумаги так, чтобы средняя линия синего цвета проходила по середине листика. Промажьте клеем те места листика, где проходят синие полосы.

Затем положите второй листик цветной бумаги и теперь промажьте те места, где проходит красная линия. Так чередуя, промажьте по очереди все до одного листики цветной бумаги. Затем приложите к стопке склеенной бумаги полукруг из картона и обведите его. Полукруг нужно будет приклеить к бумаге, но лучше это сделать после того, как вырежете бумагу. Плотный слой бумаги и так с трудом будет вырезаться, поэтому лучше взять острые ножницы.

После того как вырежете полукруг из стопки цветной бумаги, с обеих сторон нужно приклеить картонную основу. Причем, с одной стороны весь полукруг, а с другой лишь его часть, вырезанную дугой. Если с обеих сторон приклеить оба картонных полукруга, то при соединении шара будут выступать части картона, что немного испортит его вид.

Далее сшиваем края шарика. Их нужно неплотно, слегка прихватив, зафиксировать ниткой, чтобы при сборке шарик не распался.

Остается раскрыть шарик и склеить картонные основания. Раскрывать шарик нужно аккуратно, разводя в стороны, чтобы не порвать тонкую гофрированную бумагу.

При правильном соблюдении всей последовательности действий при раскрытии шарик не расклеится. Если вдруг такое случится, отклеившиеся места нужно промазать клеем.

Можете сделать такие шарики одно-, двух-, трехцветными, а можно разноцветными, чередуя цвета. А если сделать несколько шариков разного размера, то получится вполне достойное праздничное украшение помещения.

Лилия Соколова

Подписывайтесь на нашу группу в Одноклассниках

Как сделать шар из бумаги своими руками на елку с фото и видео

Шары всегда ассоциируются с детством, с праздником. Может быть, именно поэтому при виде шаров поднимается настроение и хочется улыбаться. Чтобы украсить помещение, двор, кусты и деревья, нужна фантазия, цветная бумага, ножницы, клей и нитки. Существует много способов, как сделать шар из бумаги своими руками. Здесь представлено несколько из них.

Пушистые и милые

1-й способ:

Такой объемный шар в виде распустившегося пиона лучше всего делать из гофрированной бумаги. Но можно сделать из любой.

Шар из гвоздик:

Из бумажных цветов:

Гладкие шарики

2-й способ. Из бумаги вырезать волнистые полосы.

6 штук одного цвета, 6 другого. И два круга тоже двух цветов. Выложить полосы в виде лучистой звезды.

В середину вклеить круг. Наложить одну звезду на другую и переплести лучи. Верхние уходят под нижние.

В результате плетения наверху оказываются лучи то одного, то другого цвета.

В конце работы лучи скрепляются, получается шар.

Обратите внимание, что лучи не обязательно делать гладкими.

3-й способ:

Ажурный вариант

На Новый год стараются делать резные шары, чтобы они были похожи на морозные узоры на стеклах, или на неповторимые снежинки.

4-й способ:

На цветную бумагу формата А4 наносится рисунок. Его можно придумать, а можно скачать с Интернета.

Придуманный рисунок вырезается канцелярским ножом и повторяется на листе 6 раз.

Заготовка тщательно вырезается.

Каждый фрагмент сгибается, принимая округлую форму.

На кончиках фрагментов прокалываются дырочки.

Фигура склеивается, принимая форму шара.

На иголку с ниткой нанизываются бусины.

Концы шара прошиваются иглой и скрепляются бусинами снаружи и изнутри.

Для надежности их можно склеить каплей клея.

Другой конец ажурного шара скрепляется точно так же, при помощи иглы, ниток, бусин и клея.

На завершающем этапе игла проходит насквозь внутрь шарика, нить завязывается узелком и выводится наверх.

За эту нить воздушный шар вешается на елку.

Фигурный и новогодний

Новогодний шар можно сделать в технике оригами.

5-й способ. В технике кусудамы.

6-й способ:

Еще один новогодний шарик в технике квиллинг.

На любой праздник можно сделать красивые шары в полюбившейся технике.

Видео по теме статьи

Шар-соты:

Помпоны-пионы:

Кусудама, елочные игрушки:

Снежинки:

Объемный:

Ажурный:

Супершар кусудама:

Гладкий шар:

Новогодние шары из бумаги своими руками, фото-идеи 2021

Все мы с раннего детства привыкли к ёлочным украшениям. Сочетание “ёлочные шарики” уже давно стало неотъемлемым атрибутом празднования нового года. Вместе с тем, украсить квартиру или ёлку можно не только стандартными блестящими шарами, но и красивыми бумажными поделками, выполненными самостоятельно. Представленные здесь мастер-классы помогут самостоятельно создать новогодние шары из бумаги для домашнего декора.

Содержание:

Бумажные шарики из маленьких фигурных частей

Для создания таких игрушек потребуются:

  • бумага;
  • ножницы;
  • клей;
  • нитки и иголка.

На фото ниже представлено  несколько вариаций поделок. Например, новогоднюю поделку можно сделать из нескольких полукругов.

Не менее красивые шарики получаются из бумажных гармошек.

Отличными исходными деталями могут стать цветочки с пятью лепестками – шарик получится более разноплановым по объёму.

Для большого шара:

Для среднего шара:

Для маленького шара:

Игрушки из кружочков, сложенных в треугольники, также будут выглядеть достаточно ярко, особенно, если подобрать для них бумагу необычной расцветки.

Для большого шара:

Для маленького шара:

Очень красиво и стильно смотрятся новогодние игрушки из прямоугольников, склееных по углам между собой. На фотографиях представлен восточный вариант, однако никто не мешает использовать таким же образом и другую расцветку, другой тематики.

Треугольники в круге, с загнутыми бортами, склеенными между собой – это своего рода классика. Сделать такой шарик несложно, но радовать своим видом он будет не хуже фабричных игрушек.

Для большого шара:

Для маленького шара:


Шарики из длинных бумажных полос

Двухцветные шарики из полос с каплеобразным узором – великолепное решение для новогоднего интерьера, оформляемого к празднику в двух цветах. Маленькие игрушки можно повесить на ёлку, а большие – на стены, или же расставить их, не подвешивая. В такой поделке основным цветом может стать цвет символа наступающего года.

Шары из полосок, имеющих узором круги разного размера, выглядят немного закрученными к основаниям и с небольшими прогалами в самом теле. Сделанные своими руками, они могут стать даже украшением сервировки новогоднего стола.

Увеличив расстояние между кругами в полоске, можно получить шар с идеальными кругами в качестве узора. Перфекционисты будут счастливы увидеть подобное украшение!

Из прямых, ровных полос бумаги  также можно изготовить новогодний шарик ручной работы. В этом случае даже не потребуются шаблоны – нарезать ровные полоски несложно и самостоятельно, а их длина определит размеры готового изделия, что тоже зависит от творца.

Ровные полосы можно склеивать сами по себе; сделать из них круги и склеивать их; закрепить композицию при помощи сшивания; прикрепить сверху бантики, сделанные из таких же полос; сшить детали, надев на них сверху бусину.

Прямые полосы могут быть как идеально ровными, так и узорными – достаточно просто нарисовать понравившийся узор, заключив его в овал, совместить несколько таких овалов, вырезать эту бумажную “очередь”, после чего немного закруглить её при помощи ручки или карандаша и скрепить с краю и наверху. Если использовать специальные трафареты – это один из самых простых способов создания новогоднего шарика.

 

Любители более “магических” фигур наверняка оценят всю прелесть шара, собранного из бумаги с искривлёнными полосами. Такой шарик получится с небольшими прогалами, зато для его изготовления понадобятся всего три широких полосы.


Шарики из бумажных кругов

Новогодние поделки зачастую весьма логичны в своём изготовлении. Также и здесь – шарик собирается из кругов. Маленькие кругляшки, вырезанные из бумаги, можно складывать пополам, надрезать, склеивать, складывать, сшивать, закреплять с помощью верёвочек или без. В склеивании можно комбинировать по два или три круга, чтобы придать готовому изделию отличающуюся форму.


Шары, сложенные из согнутой и закрученной бумаги

С такими шариками всё просто на первый взгляд. Однако при работе могут возникнуть различные сложности, поэтому на фотографиях ниже весь процесс описан пошагово. Для складывания в определённых местах потребуется линейка, для закручивания бумаги – карандаш или ручка. Прелесть подобных шаров в их выгодном отличии от остальных моделей.

Особенно необычно смотрятся шарики с закрученными краями, выполненные из подарочной упаковки или скрап-бумаги.

Склеивая новогодние шарики из конусообразных деталей, можно поместить одну внутрь другой, тем самым получив дополнительный объём.


Шары из бумаги в технике кусудама

Новогодние шары из бумаги можно выполнить в технике кусудама. Схемы такой работы предоставлены ниже. Техника кусудама прекрасна тем, что не требует каких-либо дополнительных инструментов, помимо бумаги, однако украшения для готовой игрушки можно создать и из подручных материалов – те же бусинки, ниточки и многое другое. Получившийся шарик будет великолепно смотреться на новогодней ёлке со своей объёмностью как снаружи, так и внутри.

Надеемся, наша подборка идей вам понравилась! Веселого праздника и нескучного Нового года!

Ажурный шар из бумаги со схемой

В этом мастер классе хочу предложить вам схему симпатичных ажурных шаров из бумаги которые можно использовать для украшения дома на праздники. Объемные шары можно сделать вырезав детали из цветной бумаги разных цветов. Тогда они получатся очень пестрыми и яркими, что оживит обстановку в доме насыщенной игрой цвета.

Можно также сделать такие ажурные шары из простой белой бумаги – будет очень стильно и внимание в интерьере уже будет посвящено не цвету а концептуальным формам.

Что бы вы не выбрали сама поделка этих ажурных шаров весьма занимательна и результат не менее интересен.

Как сделать шар из бумаги

Вам понадобится шаблон шара из бумаги, один из трех размеров. Хотя в дальнейшем вы сможете сделать несколько шаров разных размеров.

Скачиваем схему шара из бумаги маленького размера.

Скачиваем схему шара из бумаги среднего размера.

И третий шаблон шара из бумаги самого большого размера.

Чтобы собрать шар целиком вам необходимо распечатать 12 одинаковых деталей.

Вырезаем детали по контуру и делаем прорези намеченные на детали. Чтобы сделать шар-подвеску нужно в одной из детали по центру закрепить веревочку.

Теперь просто соединяем детали в прорези между собой.

Постепенно добавляя детали и стыковывая их между собой.

Вот так это выглядит изнутри.

Совмещаем все и замыкаем шар заключительной 12-ой  деталью с петелькой.

Вот шарик из бумаги сделанный своими руками готов. Вы можете не останавливаться на одном и сделать комплект разноцветных шаров из бумаги для украшения вашего интерьера. Ажурные лепестки шара очень похожи на нежные лепесточки цветов – эдакие цветочные шары будут напоминать о лете зимой а летом добавят цветения. Яркого вам творчества.

Спасибо Jessica.


Ещё много мастер-классов по рукоделию:

При копировании материалов активная ссылка на сайт CREATIVETHERAPY.RU обязательна!

Шар из папье маше | Мастер Поделок

Привет читателям «Мастера Поделок»!

Не терпится узнать, что мы изучим сегодня? А сегодня на повестке дня — более подробное изучение техники папье-маше. Наверное, многие задумывались, как же вылепить шар из папье маше? Настоящий круглый шар, а не мячик в форме эллипса или овала с прорвой неровностей. Эта проблема больше не стоит перед вами если вы уже нажали «Читать далее».

папье маше своими руками

Почти любую вещь из папье маше можно сделать несколькими способами. Шар — не исключение. 2 основных способа по формированию мячика папье-маше:

Способ первый. Оклеивание.

Такой способ используется, когда вы берете за основу что-то в форме шара и оклеиваете эту вещь бумагой, увеличивая в размере и меняя текстуру. Такой способ уместен, если у вас в наличии имеется лишний шарик (например, для пинг-понга). Если же основы шарика у вас нет, то встречайте:
Способ второй. Оклеивание временной основы.

способы папье маше

Вот, где открывается простор для полета фантазии. Скатайте шар из пластилина, возьмите за основу пенопластовый, деревянный, пластмассовый шарик, лампочку или старую новогоднюю игрушку и покройте ее 2-4 слоями бумаги, скрепляя ее только водой, без добавления клея. Затем дайте бумаге слегка просохнуть. Нанесите еще +-4 слоя, но уже применяя стандартную смесь воды и ПВА.

Затем оставьте поделку до полного высыхания. Нанесите еще как минимум 3 раза по +-4 слоя, каждый раз оставляя бумагу подсыхать. Когда нужная толщина будет наклеена, а бумага абсолютно просохнет, возьмите лезвие или острый канцелярский нож и разрежьте шар на 2 половины.

папье маше шар

Снимите обе половины с основы. Затем склейте обе половинки друг с другом, как полагается. Чем больше было слоев бумаги, тем толще получатся стенки шара, и тем проще будет его склеить. Сразу после нанесения клея покройте свежескрепленный шар еще 2 слоями бумаги.

Если в качестве основы вы использовали лампу, то не избежно небольшое отверстие в шаре, но в некоторых случаях это весьма полезно.

делаем папье маше

Объемный шар в технике папье маше

Теперь вы знаете секреты создания объемного шара в технике папье маше. Творческих вам идей!

comments powered by HyperComments

Объемный бумажный зонт

Красивый и объемный зонт из бумаги может быть использован как украшение интерьера, так и как забавная поделка, которая понравится каждому ребенку. Что самое главное, этот разноцветный предмет очень легко сделать.

Вам понадобится:

  • Цветная бумага всех оттенков;
  • Трубочка для коктейля;
  • Двусторонний скотч;
  • Пишущий карандаш, циркуль, ножницы, клей-карандаш.

Если вам нужен маленький зонт, можно сэкономить на цветной бумаге и использовать его разноцветные кусочки и кусочки.

Как сделать объемный бумажный зонтик?

Для изготовления поделки вам потребуются круги из цветной бумаги. Здесь у меня 20 кругов, но 15 вполне достаточно, особенно если ваш зонт будет маленьким. Чтобы сделать большой, можно вырезать 20 кружков; таким образом, он будет во всей красе.

Сложите круг ровно пополам.

Затем повторите это еще раз, чтобы получить четверть круга.

Сделайте такие четвертинки из всех кружков из цветной бумаги.

Чтобы детали в дальнейшем не раскрылись, необходимо их закрепить клеем. Раскройте четвертинку и нанесите немного клея на ее верхнюю часть. Не стоит использовать всю половину.

Склейте стороны вместе. Теперь они будут закреплены только в верхней части, что не помешает правильному открытию нижней части.

Склеиваем все четвертинки.

Затем вам нужно склеить их все вместе. Однако делать это следует не по принципу «улов как улов», а определенным образом. Положите две четверти раздвоенных сторон вниз, как показано на фото. Это правильное положение, в котором они должны быть склеены - разветвленная сторона с разветвленной стороной, прямой угол с прямым углом.

Клей также следует нанести между этими двумя четвертями.

Но и здесь не стоит ремонтировать всю сторону.Достаточно склеить верхнюю сторону, чтобы нижняя открылась. На фото квартал разделен на две части; однако это разделение сделано исключительно для нашей цели, чтобы продемонстрировать, где следует наносить клей. Как видите, используется только верхняя часть четверти.

Склейте две части вместе.

А потом, со всеми остальными. Вы можете сложить их в стопку и плотно прижать, чтобы склеенные детали были надежно закреплены.

После этого замкните круг, склеив стороны первой и последней четвертинок вместе. Приготовьте трубочку для коктейля. Согните его край возле соединительного сильфона и проверьте, подходит ли он к зонту. При необходимости обрежьте соломинку.

Наклейте на соломинку двусторонний скотч, снимите пленку и быстро вставьте ее в отверстие зонта. Вместо скотча можно использовать клеевой пистолет с суперклеем. Клей ПВА и клей-карандаш плохо взаимодействуют с пластиковым материалом.Возможно, проблема в том, что трубочка для коктейля вообще не прилипает.

Это объемный бумажный зонтик, который мы сделали. Очень ярко и позитивно.

Именно в этой технике делают куклу из бумаги, а точнее ее юбку.

элемент инфографики. Объемные бумажные полоски в виде фигурок. Клипарты, векторы, и Набор Иллюстраций Без Оплаты Отчислений. Изображение 82234926.

Элемент инфографики. Объемные бумажные полоски в виде фигурок. Клипарты, векторы, и Набор Иллюстраций Без Оплаты Отчислений.Изображение 82234926.

Элемент инфографики. Объемные бумажные полоски в форме круга. Падающая тень. Полоски бумаги. Бизнес-иллюстрация для проектов. Шаги к успеху. Векторная иллюстрация

M L XL EPS

Таблица размеров

Размер изображения Идеально подходит для
S Интернет и блоги, социальные сети и мобильные приложения.
M Брошюры и каталоги, журналы и открытки.
л Внутренние и наружные плакаты и печатные баннеры.
XL Фоны, рекламные щиты и цифровые экраны.

Используете это изображение на предмете перепродажи или шаблоне?

Распечатать Электронный Всесторонний

6000 x 6000 пикселей | 50.8 см x 50,8 см | 300 точек на дюйм | JPG

Масштабирование до любого размера • EPS

6000 x 6000 пикселей | 50,8 см x 50,8 см | 300 точек на дюйм | JPG

Скачать

Купить одно изображение

6 кредитов

Самая низкая цена
с планом подписки

  • Попробовать 1 месяц на 2209 pyб
  • Загрузите 10 фотографий или векторных изображений.
  • Нет дневного лимита загрузок, неиспользованные загрузки переносятся на следующий месяц

221 ру

за изображение любой размер

Цена денег

Ключевые слова

Похожие векторы

Нужна помощь? Свяжитесь со своим персональным менеджером по работе с клиентами

@ +7 499 938-68-54

Мы используем файлы cookie, чтобы вам было удобнее работать.Используя наш веб-сайт, вы соглашаетесь на использование файлов cookie, как описано в нашей Политике использования файлов cookie

. Принимать

математических формул для основных фигур и трехмерных фигур

В математике (особенно в геометрии) и естественных науках вам часто нужно вычислять площадь поверхности, объем или периметр различных форм. Будь то сфера или круг, прямоугольник или куб, пирамида или треугольник, каждая форма имеет определенные формулы, которым вы должны следовать, чтобы получить правильные измерения.

Мы собираемся изучить формулы, которые понадобятся вам для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур, а также площади и периметра двухмерных фигур. Вы можете изучить этот урок, чтобы изучить каждую формулу, а затем сохранить ее для быстрого ознакомления в следующий раз, когда она вам понадобится. Хорошая новость заключается в том, что в каждой формуле используются одни и те же базовые измерения, поэтому изучение каждого нового становится немного проще.

Площадь поверхности и объем сферы

Д.Рассел

Трехмерный круг известен как сфера. Чтобы вычислить площадь поверхности или объем сферы, вам необходимо знать радиус ( r ). Радиус - это расстояние от центра сферы до края, и оно всегда одинаково, независимо от того, от каких точек на краю сферы вы измеряете.

Когда у вас есть радиус, формулы довольно просто запомнить. Как и в случае с окружностью круга, вам нужно будет использовать число пи ( π ).Как правило, это бесконечное число можно округлить до 3,14 или 3,14159 (принятая дробь - 22/7).

  • Площадь поверхности = 4πr 2
  • Объем = 4/3 πr 3

Площадь поверхности и объем конуса

Д. Рассел

Конус - это пирамида с круглым основанием, имеющая наклонные стороны, которые сходятся в центральной точке. Чтобы рассчитать его площадь поверхности или объем, необходимо знать радиус основания и длину стороны.

Если вы этого не знаете, вы можете найти длину стороны ( s ), используя радиус ( r ) и высоту конуса ( h ).

После этого вы можете найти общую площадь поверхности, которая является суммой площади основания и площади стороны.

  • Площадь основания: πr 2
  • Площадь стороны: πrs
  • Общая площадь поверхности = πr 2 + πrs

Чтобы найти объем сферы, вам нужны только радиус и высота.

Площадь поверхности и объем цилиндра

Д. Рассел

Вы обнаружите, что с цилиндром намного легче работать, чем с конусом. Эта форма имеет круглое основание и прямые параллельные стороны. Это означает, что для определения его площади поверхности или объема вам понадобятся только радиус ( r ) и высота ( h ).

Тем не менее, вы также должны учитывать то, что есть как верх, так и низ, поэтому радиус необходимо умножить на два для площади поверхности.

  • Площадь поверхности = 2πr 2 + 2πrh
  • Объем = πr 2 ч

Площадь поверхности и объем прямоугольной призмы

Д. Рассел

Прямоугольник в трех измерениях становится прямоугольной призмой (или коробкой). Когда все стороны равны, он становится кубом. В любом случае для определения площади поверхности и объема требуются одни и те же формулы.

Для них вам нужно знать длину ( l ), высоту ( h ) и ширину ( w ).С кубом все три будут одинаковыми.

  • Площадь поверхности = 2 (левый) + 2 (левый) + 2 (белый)
  • Объем = л / ш

Площадь и объем пирамиды

Д. Рассел

С пирамидой с квадратным основанием и гранями из равносторонних треугольников работать сравнительно легко.

Вам нужно будет знать размер одной длины основания ( b ). Высота ( х ) - это расстояние от основания до центральной точки пирамиды.Сторона ( s ) - это длина одной грани пирамиды от основания до верхней точки.

  • Площадь поверхности = 2bs + b 2
  • Объем = 1/3 b 2 h

Другой способ вычислить это - использовать периметр ( P ) и площадь ( A ) базовой формы. Это можно использовать для пирамиды с прямоугольным, а не квадратным основанием.

  • Площадь поверхности = (½ x P x s) + A
  • Объем = 1/3 Ач

Площадь поверхности и объем призмы

Д.Рассел

При переходе от пирамиды к равнобедренной треугольной призме необходимо также учитывать длину формы ( l ). Запомните сокращения для основания ( b ), высоты ( h ) и стороны ( s ), потому что они необходимы для этих вычислений.

  • Площадь поверхности = bh + 2ls + lb
  • Объем = 1/2 (бч) л

Тем не менее, призма может быть любой формы. Если вам нужно определить площадь или объем нечетной призмы, вы можете полагаться на площадь ( A ) и периметр ( P ) базовой формы.Часто в этой формуле будет использоваться высота призмы или глубина ( d ), а не длина ( l ), хотя вы можете увидеть любое сокращение.

  • Площадь поверхности = 2A + Pd
  • Объем = объявления

Площадь сектора круга

Д. Рассел

Площадь сектора круга может быть вычислена в градусах (или радианах, как это чаще всего используется в расчетах). Для этого вам понадобятся радиус ( r ), пи ( π ) и центральный угол ( θ ).

  • Площадь = θ / 2 r 2 (в радианах)
  • Площадь = θ / 360 πr 2 (в градусах)

Площадь эллипса

Д. Рассел

Эллипс также называют овалом и по сути представляет собой удлиненный круг. Расстояния от центральной точки до стороны непостоянны, что делает формулу для определения ее площади немного сложной.

Чтобы использовать эту формулу, вы должны знать:

  • Semiminor Axis ( a ): кратчайшее расстояние между центральной точкой и краем.
  • Большая полуось ( b ): наибольшее расстояние между центральной точкой и краем.

Сумма этих двух точек остается постоянной. Вот почему мы можем использовать следующую формулу для вычисления площади любого эллипса.

Иногда вы можете увидеть эту формулу, записанную с r 1 (радиус 1 или малая полуось) и r 2 (радиус 2 или большая полуось), а не a и b .

Площадь и периметр треугольника

Треугольник - одна из самых простых фигур, и вычислить периметр этой трехсторонней формы довольно просто. Вам необходимо знать длины всех трех сторон ( a, b, c ), чтобы измерить полный периметр.

Чтобы узнать площадь треугольника, вам понадобится только длина основания ( b ) и высота ( h ), которая измеряется от основания до вершины треугольника. Эта формула работает для любого треугольника, независимо от того, равны ли стороны или нет.

Площадь и окружность круга

Подобно сфере, вам нужно знать радиус ( r ) круга, чтобы узнать его диаметр ( d ) и длину окружности ( c ). Имейте в виду, что круг - это эллипс, у которого одинаковое расстояние от центральной точки до каждой стороны (радиуса), поэтому не имеет значения, где на краю вы измеряете.

  • Диаметр (d) = 2r
  • Окружность (c) = πd или 2πr

Эти два измерения используются в формуле для вычисления площади круга.Также важно помнить, что отношение длины окружности к ее диаметру равно пи ( π ).

Площадь и периметр параллелограмма

У параллелограмма есть два набора противоположных сторон, идущих параллельно друг другу. Форма четырехугольника, поэтому у нее четыре стороны: две стороны одной длины ( a ) и две стороны другой длины ( b ).

Чтобы узнать периметр любого параллелограмма, используйте эту простую формулу:

Когда вам нужно найти площадь параллелограмма, вам понадобится высота ( х ).Это расстояние между двумя параллельными сторонами. Также требуется основание ( b ), это длина одной из сторон.

Имейте в виду, что b в формуле площади не то же самое, что b в формуле периметра. Вы можете использовать любую из сторон, которые были соединены как a и b при вычислении периметра, хотя чаще всего мы используем сторону, перпендикулярную высоте.

Площадь и периметр прямоугольника

Прямоугольник - это тоже четырехугольник.В отличие от параллелограмма, внутренние углы всегда равны 90 градусам. Кроме того, стороны, противоположные друг другу, всегда будут иметь одинаковую длину.

Чтобы использовать формулы для периметра и площади, вам необходимо измерить длину прямоугольника ( l ) и его ширину ( w ).

  • Периметр = 2h + 2w
  • Площадь = в x ш

Площадь и периметр квадрата

Квадрат даже проще, чем прямоугольник, потому что это прямоугольник с четырьмя равными сторонами.Это означает, что вам нужно знать только длину одной стороны ( с ), чтобы найти ее периметр и площадь.

Площадь и периметр трапеции

Трапеция - это четырехугольник, который может показаться сложной задачей, но на самом деле это довольно просто. У этой формы только две стороны параллельны друг другу, хотя все четыре стороны могут иметь разную длину. Это означает, что вам нужно знать длину каждой стороны ( a, b 1 , b 2 , c ), чтобы найти периметр трапеции.

  • Периметр = a + b 1 + b 2 + c

Чтобы найти площадь трапеции, вам также понадобится высота ( х ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами.

Площадь и периметр шестиугольника

Шестигранный многоугольник с равными сторонами - это правильный шестиугольник. Длина каждой стороны равна радиусу ( r ). Хотя это может показаться сложной формой, вычисление периметра - это простой вопрос умножения радиуса на шесть сторон.

Определить площадь шестиугольника немного сложнее, и вам придется запомнить эту формулу:

Площадь и периметр восьмиугольника

Правильный восьмиугольник похож на шестиугольник, но у этого многоугольника восемь равных сторон. Чтобы найти периметр и площадь этой формы, вам понадобится длина одной стороны ( a ).

  • Периметр = 8a
  • Площадь = (2 + 2√2) a 2

Калькулятор объема конуса

Этот калькулятор объема конуса может помочь в решении ваших школьных задач или может ответить на ваши странные повседневные вопросы.Сколько мороженого поместится в мой рожок? Сколько сливок можно положить в кондитерский мешок? Или каков объем моего конического бокала для шампанского? Если эти вопросы беспокоят вас каждый день, продолжайте читать!

Формула объема конуса

Конус - это твердое тело с круглым основанием и единственной вершиной. Чтобы рассчитать его объем, вам нужно умножить базовую площадь (площадь круга: π * r²) на высоту и на 1/3:

.
  • объем = (1/3) * π * r² * h

Конус с многоугольным основанием называется пирамидой.

Как рассчитать объем конуса?

Посчитаем, сколько воды умещается в конической части воронки.

  1. Определите высоту конуса . Для нашей воронки это 4 из .
  2. Введите радиус основания . Это может быть равно 3 из .
  3. В калькуляторе отображается объем конуса - в нашем случае это 37,7 у.е. на .

Помните, что вы можете изменить единицы измерения в соответствии с вашими потребностями - нажмите на единицу и выберите ее из списка.Если вам нужно простое преобразование единиц объема, воспользуйтесь нашим инструментом преобразования объема.

Объем усеченного конуса (объем усеченного конуса)

Усеченный конус - это конус с обрезанной вершиной, с вырезом, перпендикулярным высоте. Вы можете рассчитать объем усеченного конуса, вычтя меньший объем конуса (разрезанный) из большего базового, или используя формулу:

  • объем = (1/3) * π * глубина * (r² + r * R + R²) , где R - радиус основания конуса, а r - радиус верхней поверхности

Пример расчета объема усеченного конуса можно найти в нашем калькуляторе горшечной почвы, так как стандартный цветочный горшок представляет собой усеченную часть конуса.

Объем наклонного конуса

Косой конус - это конус с вершиной, не выровненной над центром основания. Он « наклоняется на » в одну сторону, как и наклонный цилиндр. Формула объема косого конуса такая же, как и для правого.

Сферы, конусы и цилиндры - Круги и Пи - Матигон

В предыдущих разделах мы изучали свойства кругов на плоской поверхности. Но на самом деле наш мир трехмерен, поэтому давайте взглянем на некоторые трехмерные тела, основанные на окружностях:

Цилиндр состоит из двух конгруэнтных параллельных окружностей, соединенных изогнутой поверхностью.

Конус имеет круглое основание, соединенное с единственной точкой (называемой вершиной).

Каждая точка на поверхности сферы находится на одинаковом расстоянии от ее центра.

Обратите внимание, что определение сферы почти такое же, как определение радиуса-куба, за исключением трех измерений!

Цилиндры

Здесь вы можете увидеть цилиндрический газометр в Оберхаузене, Германия. Он использовался для хранения природного газа, который использовался в качестве топлива на близлежащих заводах и электростанциях.Высота газометра составляет 120 метров, а его основание и потолок представляют собой два больших круга радиусом 35 метров. Есть два важных вопроса, на которые инженеры могут захотеть ответить:

  • Сколько природного газа можно хранить? Это объемный диаметр цилиндра.
  • Сколько стали нужно для изготовления газометра? Это (приблизительно) площадь поверхности по диагонали цилиндра.

Попробуем найти формулы для обоих результатов!

Объем цилиндра

Верх и низ цилиндра представляют собой две совпадающие окружности, называемые основаниями .Высота h цилиндра - это перпендикулярное расстояние между этими основаниями, а радиус r цилиндра - это просто радиус круглых оснований.

Цилиндр можно аппроксимировать с помощью призмы со стороной $ {n} . По мере увеличения количества сторон призма начинает все больше и больше походить на цилиндр:

Хотя цилиндр технически не является призмой, у них много общих свойств. В обоих случаях мы можем найти объем, умножив площадь их основания на их высоту .Это означает, что цилиндр с радиусом r и высотой h имеет объем

V =

Помните, что для радиуса и высоты должны использоваться одни и те же единицы измерения. Например, если значения r и h указаны в см, то объем будет в см3см2см.

В приведенных выше примерах два основания цилиндра всегда находились на непосредственно друг над другом : это называется правым цилиндром . Если основания не находятся прямо друг над другом, имеем наклонный цилиндр .Основания по-прежнему параллельны, но стороны кажутся «наклоненными» под углом, отличным от 90 °.

Пизанская башня в Италии представляет собой не совсем наклонный цилиндр.

Объем наклонного цилиндра оказывается точно таким же, как и у правого цилиндра того же радиуса и высоты. Это связано с принципом Кавальери , названным в честь итальянского математика Бонавентуры Кавальери: если два твердых тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на каждой высоте, то они будут иметь одинаковый объем.

Представьте, что цилиндр разрезан на множество тонких дисков. Затем мы можем сдвинуть эти диски горизонтально, чтобы получить наклонный цилиндр. Объем отдельных дисков не меняется, когда вы делаете его наклонным, поэтому общий объем также остается постоянным:

Площадь поверхности цилиндра

Чтобы найти площадь поверхности цилиндра, мы должны «развернуть» его в плоская сетка. Вы можете попробовать это сами, например, сняв этикетку с банки с едой.

Есть два круглых квадрата, один вверху и один внизу цилиндра.Изогнутая сторона на самом деле представляет собой большой прямоугольник-квадрат.

  • Каждый из двух кружков имеет площадь.
  • Высота прямоугольника равна, а ширина прямоугольника такая же, как диаметр окружности и тангенс окружностей:.

Это означает, что общая площадь цилиндра с радиусом r и высотой h равна

A =.

Баллоны можно найти повсюду в нашем мире - от банок из-под газировки до туалетной бумаги или водопроводных труб.Вы можете придумать другие примеры?

Указанный выше газометр имел радиус 35 м и высоту 120 м. Теперь мы можем подсчитать, что его объем составляет примерно м3, а площадь поверхности примерно м2.

Конусы

Конус представляет собой трехмерное твердое тело с круглым основанием . Его сторона «сужается вверх», как показано на схеме, и заканчивается единственной точкой, называемой вершиной .

Радиус конуса - это радиус круглого основания, а высота конуса - это перпендикулярное расстояние от основания до вершины.

Как и другие формы, которые мы встречали ранее, конусы повсюду вокруг нас: рожки мороженого, дорожные конусы, некоторые крыши и даже рождественские елки. Что еще можно придумать?

Объем конуса

Ранее мы определяли объем цилиндра, аппроксимируя его с помощью призмы. Точно так же мы можем найти объем конуса, аппроксимируя его пирамидой .

Здесь вы видите $ {n} -стороннюю пирамиду. По мере увеличения количества сторон пирамида все больше становится похожей на конус.Фактически, мы могли бы представить конус как пирамиду с бесконечным числом сторон !

Это также означает, что мы также можем использовать уравнение для объема: V = 13 основание × высота. Основание конуса - круг, поэтому объем конуса с радиусом r и высотой h равен

V =

. Обратите внимание на сходство с уравнением для объема цилиндра. Представьте, что нарисуйте цилиндр вокруг конуса с тем же основанием и высотой - это называется описанным цилиндром .Теперь конус будет занимать ровно одну треть и половину четверти объема цилиндра:

Примечание: вы можете подумать, что бесконечно много крошечных граней в приближении немного «неточно». Математики долго пытались найти более простой способ вычислить объем конуса. В 1900 году великий математик Дэвид Гильберт даже назвал ее одной из 23 важнейших нерешенных проблем математики! Сегодня мы знаем, что это на самом деле невозможно.

Конус, как и цилиндр, не обязательно должен быть «прямым».Если вершина находится прямо над центром основания, мы имеем правый конус . В противном случае мы называем его косым конусом .

Еще раз, мы можем использовать принцип Кавальери, чтобы показать, что все наклонные конусы имеют одинаковый объем, если они имеют одинаковое основание и высоту.

Площадь поверхности конуса

Определить площадь поверхности конуса немного сложнее. Как и раньше, мы можем распутать конус в его сети. Переместите ползунок, чтобы увидеть, что происходит: в этом случае мы получаем одну окружность и одну окружность, сектор, сегмент окружности, дугу окружности.

Теперь нам просто нужно сложить площади обоих этих компонентов. База представляет собой окружность с радиусом r , поэтому ее площадь равна

ABase =.

Радиус сектора равен расстоянию от края конуса до его вершины. Это называется наклонной высотой х конуса, а не нормальной высотой х . Мы можем найти наклонную высоту с помощью Пифагора:

Длина дуги сектора такая же, как диаметр окружности основания: 2πr.Теперь мы можем найти площадь сектора, используя формулу, выведенную в предыдущем разделе:

ASector = ACircle × arccircumference
=
необходимо сложить площадь основания и площадь сектора , чтобы получить общую поверхность конуса:

A =

Сферы

Сфера представляет собой трехмерное твердое тело, состоящее из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данного центра C .Это расстояние называется радиусом r сферы.

Сферу можно представить как «трехмерный круг». Подобно кругу, сфера также имеет диаметр d , что вдвое меньше длины радиуса, а также хорды и секущие.

В предыдущем разделе вы узнали, как греческий математик Эратосфен вычислил радиус Земли по тени от полюса - он составил 6 371 км. Теперь давайте попробуем найти общий объем и площадь поверхности Земли.Продолжить

Объем сферы

Чтобы найти объем сферы, мы снова должны использовать принцип Кавальери. Начнем с полушария - сферы, разрезанной пополам вдоль экватора. Также нам понадобится цилиндр с таким же радиусом и высотой, что и полусфера, но с перевернутым конусом, «вырезанным» посередине.

При перемещении ползунка ниже вы можете увидеть поперечное сечение обеих этих форм на определенной высоте над основанием:

Давайте попробуем найти площадь поперечного сечения обоих этих тел на расстоянии высоты h над основанием.

Поперечное сечение полусферы всегда представляет собой кружащийся цилиндр.

Радиус x поперечного сечения является частью прямоугольного треугольника, поэтому мы можем использовать Пифагор:

r2 = h3 + x2.

Теперь площадь поперечного сечения равна

Поперечное сечение вырезанного цилиндра всегда представляет собой кольцевой круг.

Радиус отверстия х . Мы можем найти площадь кольца, вычтя площадь отверстия из площади большего круга:

Похоже, оба твердых тела имеют одинаковую площадь поперечного сечения на всех уровнях.Согласно принципу Кавальери, оба твердых тела должны иметь одинаковый объем поверхности и окружности! Мы можем найти объем полусферы, вычтя объем цилиндра и объем конуса:

VHemisphere = VCylinder − VCone
= 901 сфера состоит из полусфер, а это значит, что ее объем должен составлять

V = 43πr3.

Земля (приблизительно) представляет собой сферу радиусом 6 371 км.Следовательно, его объем равен

. Средняя плотность Земли составляет 5510 кг / м3. Это означает, что его общая масса составляет

Масса = Объем × Плотность ≈6 × 1024 кг

Это 6 с 24 нулями!

Если вы сравните уравнения для объема цилиндра, конуса и сферы, вы можете заметить одно из наиболее удовлетворительных соотношений в геометрии. Представьте, что у нас есть цилиндр, высота которого равна диаметру его основания. Теперь мы можем идеально разместить как конус, так и сферу внутри него:

+

Этот конус имеет радиус r и высоту 2r.Его объем

=

Эта сфера имеет радиус r. Его объем

Цилиндр имеет радиус r и высоту 2r. Его объем равен

. Обратите внимание, как если мы сложим, вычтем, умножим объем конуса и сферы, мы получим в точности объем цилиндра!

Площадь поверхности сферы

Найти формулу для площади поверхности сферы очень сложно. Одна из причин заключается в том, что мы не можем раскрыть и «сплющить» поверхность сферы, как мы это делали раньше для конусов и цилиндров.

Это особая проблема при создании карт. Земля имеет изогнутую трехмерную поверхность, но каждая печатная карта должна быть плоской и двухмерной. Это означает, что географам приходится хитрить: растягивая или сжимая определенные области.

Здесь вы можете увидеть несколько различных типов карт, которые называются проекциями . Попробуйте переместить красный квадрат и посмотреть, как эта область на самом деле выглядит на глобусе:

Mercator

Цилиндрический

Робинсон

Mollweide

При перемещении квадрата на карте обратите внимание на размер и форму фактическая площадь изменяется на трехмерном глобусе.

Чтобы найти площадь поверхности сферы, мы можем еще раз аппроксимировать ее, используя другую форму - например, многогранник с множеством граней. По мере увеличения количества граней многогранник все больше становится похож на сферу.

СКОРО В ПРОДАЖЕ: Доказательство площади поверхности сферы

Геометрические действия

Загадка Ферма и тройки Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c,

a 2 + b 2 = c 2 .

Числа, соответствующие этому шаблону, называются тройками Пифагора. На диаграмме ниже показаны некоторые из этих троек Пифагора. Изучите шаблон в диаграмму, чтобы найти следующие два набора троек.

a b c
3 4 5
6 8 9102

Будет ли какая-либо из троек удовлетворять Великой теореме Ферма - a 3 + b 3 = c 3 ?

А как насчет a 4 + b 4 = c 4 ?

Следующие формулы можно использовать для генерации чисел, удовлетворяющих Теорема Пифагора.Убедитесь, что x> y и что один из них нечетный, а другой даже.

a = x 2 - y 2 b = 2xy c = x 2 + y 2

Вот пример: пусть x = 7 и y = 6.

a = x 2 -y 2 b = 2xy c = x 2 + y 2
a = 7 2 -6 2 2 b = 2 * 7 * 6 c = 7 2 + 6 2
a = 49-36 b = 2 * 7 * 6 c = 49 + 36
а = 13 б = 84 в = 85
Обратите внимание, что один катет и гипотенуза (самая длинная сторона) являются последовательными целыми числами.Когда вы пробуете несколько чисел самостоятельно, посмотрите, всегда ли ваши ответы включают последовательные целые числа.

Совет: чтобы получить числа a, b и c, у которых нет общих делителей, убедитесь, что ваши числа x и y не имеют общих делителей, например 5 и 6 или 5 и 8, но не 5 и 10.

Предоставлено Шарлин Эванс

Ссылка:

Коллинз, Уильям и др. Математика: приложения и связи, Курс 3.Гленко / Макгроу Хилл. Огайо. 1998 г.


Содержание | Далее

Волшебный круг

Материалы

  • Набор крышек для кофейных банок разного размера, крышек для банок
  • веревка, карандаш, бумага, калькуляторы (по желанию), линейки
Цели
  • Рассчитайте значение для (Пи)
  • Определить универсальность (Пи)
  • Определить иррациональность (Пи)
Процедура
  1. Дайте учащимся по 1 крышке.
  2. Измерьте радиус крышки.
  3. Измерьте окружность крышки (используя шнур).
  4. Разделите длину окружности на квадрат ее радиуса.
  5. Попросите учащихся составить таблицу, в которой сравниваются радиусы, окружности и значения для (Pi).
Оценка

Предложите учащимся решить три задачи, которые имеют значение только для диаметра. дано.

Предоставлено Дэвидом Лейбом

Содержание | Далее | Предыдущая

Пентаграммы природы

Цель: Учащиеся смогут использовать алгебраические понятия при изучении природы.

Цель: Учащиеся будут использовать геометрию и концепцию соотношений и применять их для измерения предметов, встречающихся в природе.

Материалы: Пятилепестковые цветы, Яблоки, Доллары, Морская звезда.

Фокус: Покажи фильм: Дональд Дак в стране математики (можно получить через Library Media Services, 259 долларов США)

Процедура:

  1. Скажите вашим ученикам, что теперь они посмотрели фильм, и у вас есть некоторые из естественных предметов, которые они могут исследовать.
  2. Раздайте яблоки, разрезанные пополам, чтобы показать поперечное сечение семенного ложа (оно должно быть в виде звезды), песочные доллары, морские звезды и любые доступные цветы с пятью лепестками.
  3. Используя пять подсказок, ученики должны нарисовать пятиугольник.
  4. Затем ученики начертят по две диагонали от каждого наконечника. Эта фигура звезды, которая появляется, представляет собой пентаграмму.
  5. Затем учащимся нужно выбрать треугольник, измерить углы и обнаружить, что получился золотой треугольник.Продолжайте измерять треугольники, образованные диагональными линиями. Учащиеся должны уметь найти 20 различных золотых треугольников.

Оценка:

Попросите учащихся рассказать, что они обнаружили с помощью различных использованных материалов. Они нашли золотые треугольники? Что помогло? Что нужно исправить?

Предоставлено Дженнифер Гарретсон

Содержание | Далее | Предыдущий

Активность ленты Мебиуса

Для этого задания вам понадобится по пять полосок бумаги на каждого учащегося.Каждый полоса должна быть примерно 3 х 14 дюймов. Каждому ученику также понадобится около двух футов ленты, подойдет либо прозрачная лента, либо лента для изготовления ленты), ножницы и ручка или карандаш.

  1. Сначала сделайте ленту Мебиуса. Используйте одну полоску бумаги. Положите два конца вместе и поверните один конец в полутон. Склейте бумагу таким образом, Обязательно заклейте всю полоску лентой.
  2. Проведите линию посередине полосы, продолжайте рисовать, пока не получите встретиться со своей отправной точкой.Не могли бы вы нарисовать эту линию без отрывая карандаш от бумаги? Не переворачивая бумагу? Мог муравей идет по вашей линии, пока не встретит свою отправную точку, не переступая через край бумаги? Сколько сторон у Мебиуса полоса есть? Как вы думаете, что произойдет, если вы будете разрезать по этой линии?
  3. Разрежьте по линии. Что происходит? Что будет, если разрезать пополам очередной раз? Попробуйте и убедитесь.
  4. Сделайте еще одну ленту Мебиуса.Если отрезать 1/3 пути, что будет случаться? Сделай это. Примечание: к этому времени многие студенты откажутся от отгадывать часть деятельности или высказывать абсурдные мнения.
  5. Сделайте еще одну полоску, но на этот раз полностью закрутите конец полуворота. Разрезать пополам. Обратите внимание на то, что происходит. Затем снова отрежьте.
  6. Сложите две полоски вместе, одна должна быть лентой Мебиуса, другие - обычная петля. Склейте их вместе под прямым углом, разделив каждый пополам. Другие.Что произойдет, если разрезать по середине обоих? Сделай это.
Хотя это увлекательное занятие для студентов, следует отметить, что Есть реальное применение лент Мебиуса. Например, многие ленты для пишущих машинок или картриджей для компьютерных принтеров - это полоски Мебиуса, тем лучше использовать обе стороны ленты. Также некоторые ремни на автомобилях и сельскохозяйственная техника собрана таким образом, чтобы обеспечить больше равномерный износ ремней.
Предоставлено Стивом Бикслером

Рекомендации:

Этот проект разработан: [email protected]


Содержание | Далее | Предыдущая

Теорема Пифагора с танграммами

Цель: Использование танграмм для введения теоремы Пифагора.

Задача: Студенты будут использовать танграммы как введение в пифагорейский язык. Теорема.

Материалы: набор Tangram (квадрат 4 x 4 дюйма), бумага, карандаш. Чтобы у каждого ученика было достаточно деталей для некоторых из этих заданий, вы может позволить студентам работать в парах или предоставить каждому студенту более один набор танграммов.

Знакомство с Пифагором

Шаг 1
Поместите один из маленьких треугольников в центр листа и начертите вокруг него.Обозначьте самую длинную сторону треугольника буквой C (гипотенуза) и обозначьте две другие стороны «А» и «В». Обсудите угол 90 o и два острых угла и отношения между сторонами. ( c > a ; c > b ; a + b > c )

Шаг 2
Используйте кусочки танграма, чтобы сформировать идеальный квадрат вдоль каждой стороны треугольник, который вы нарисовали. Обведите квадраты, убедившись, что они прикреплены к сторонам треугольника.Сколько было использовано маленьких треугольников на сторонах «А» и «Б»? (два) Сколько маленьких треугольников нужно, чтобы квадрат на стороне "C"? (четыре) Обсудите, как идеальные квадраты «А» и «Б» вместе образуют идеальный квадрат на стороне "C".

Шаг 3
Повторите шаги 1 и 2, используя средний треугольник. Могут ли идеальные квадраты из маленьких треугольников? Сколько треугольников используется на стороны «А» и «Б»? (четыре) Сколько маленьких треугольников понадобится для боковой «С»? (восемь)

Шаг 4
Повторите упражнение с большим треугольником.Определите, сколько треугольники потребуются для сторон «А» и «В» (два больших треугольника или пять из меньших частей.) и для стороны "C". (Все семь частей танграма.)

Шаг 5
Сравните три рисунка. Обсудите взаимосвязь областей квадратов вдоль каждой ножки прямоугольного треугольника на площадь квадрата вдоль гипотенуза. Сумма площадей квадратов на ножках равна квадрат гипотенузы.

Шаг 6
Используйте формулу для площади ( A = l x w ), чтобы найти площади квадратов на со всех трех сторон. Попросите учащихся написать уравнение, чтобы представить отношение. ( a 2 + b 2 = c 2 )

(Вот! Ваши ученики только что открыли теорему Пифагора !!!) Это прекрасная возможность поделиться со своими учениками историей Пифагор и как он разработал эту теорему.

Предоставлено Анжелой Церадски

Содержание | Далее | Предыдущая

Активность формулы Эйлера

Название урока: Формула Эйлера, зубочистки и мармеладки.

Предметная область: Геометрия, предалгебра

Уровень оценки: Восьмой

Описание или формулировка результата: Обладая информацией о планарных сетях и трехмерных объектах, учащиеся смогут продемонстрировать, как удовлетворить формулу Эйлера.

Цели:

  1. TLW сможет определять количество вершин, ребер и областей в плоских сетях.
  2. TLW уметь определять количество вершин, ребер и областей на трехмерном объекте.
  3. TLW сможет продемонстрировать, как удовлетворить формулу Эйлера.
Материалы и ресурсы:
  • Доска
  • Мел
  • Зубочистки
  • Мармелад
Процедура:
  1. Мотивация - Кто мне скажет, кто может использовать геометрию, кроме учителей математики? Некоторые ответы могут включать архитекторов, плотников, укладчиков плитки, ученых, работающих над молекулярными моделями, мам и пап.Об архитекторах и их работах мы, наверное, думаем больше, чем другие. Какие структуры вы можете придумать, которые почти кричат ​​вам Геометрия? Бейсбольные бриллианты? Баскетбольная площадка? Мост "Золотые ворота? Как насчет центра EPCOT во Флориде?
  2. Сегодня мы собираемся познакомить вас с вершинами (или точками), ребрами (или линиями) и областями (или гранями) трехмерных объектов, позволяя вам создавать свои собственные. Как вы думаете, как их построить? На этом этапе мы рассмотрим предложения и рассмотрим их, например, попытаемся нарисовать трехмерный объект на доске.Изучив несколько вариантов, мы познакомимся с зубочистками и мармеладными конфетами.
  3. Педагог моделирование или демонстрация. Мы построим собственный трехмерный объект и укажем на вершины, края и области, которые составляют наш объект.
  4. Проверьте понимание. После того, как студенты получат возможность построить свои собственные трехмерные объекты, мы зададим им вопросы о том, чему они научились. Например, какие вершины, края и области и сколько включены в ваш объект.
  5. Практика или деятельность под руководством. На этом этапе мы введем формулу Эйлера ( V - E + F = 2 ) и продемонстрируем, как удовлетворить ее с помощью нашей модели.
  6. Затем мы проинструктируем студентов удовлетворить формулу Эйлера, используя свою модель.
План оценки:
Для оценки понимания учащимся представленного материала будут даны устные вопросы и ответы, а также тест с карандашом и бумагой из десяти вопросов.
Предоставлено Яном Свенсоном

Содержание | Далее | Предыдущая

Площадь и объем поверхности

Это упражнение должно научить ученика вычислять объем и площадь поверхности цилиндра.Эту деятельность можно легко связать с историей, обсуждая, как древние могли измерять объем или даже длину до того, как существовала стандартизированная система измерения.

Процедура:

  1. Покажите ученикам лист бумаги размером 8 x 11 дюймов. Сверните лист бумаги в высокий цилиндр и заклейте скотчем. Скатайте другой лист бумаги того же размера в более короткий и широкий цилиндр. Спросите учащихся, что, по их мнению, вмещает больше (имеет больший объем).
  2. Разделив учащихся на группы, раздайте каждой группе по листу бумаги. Попросите учащихся измерить длину и ширину листа бумаги, чтобы определить площадь поверхности цилиндра (исключая верхнюю и нижнюю часть).
  3. Попросите каждую группу вычислить объемы своих цилиндров (V = Bh; где B = Площадь основания) как высокие, узкие и короткие, широкие.
  4. Теперь покажем им, как определить, какой цилиндр 8 x 11 вмещает больше. Используйте какой-нибудь сухой продукт (например, бобы или зефир), чтобы измерить, сколько «чашек» помещается в каждый цилиндр.Здесь можно обсудить историю нестандартных измерений и способы их использования.
  5. Затем попросите учащихся вычислить фактический объем цилиндров.
Предоставлено Линдси Истридж

Содержание | Далее | Назад

Волшебные круги
Создание усеченного тетраэдра.

Я приобрел это занятие во время семинара за 259 долларов США в Уичито, штат Канзас, который назывался «Математика в понедельник вечером».Я учил этому классу от третьего класса до колледжа. Это упражнение помогает развивать, укреплять и даже может использоваться для пополнения словарного запаса по математике. Это задание можно выполнить с разными уровнями обучения, просто изменив словарный запас, чтобы он соответствовал уровню навыков, с которым вы работаете. Это отличное упражнение на слушание / мелкую моторику. (Ключевые слова указаны в скобках.)

Материалы: один 7-дюймовый бумажный круг, карандаш и линейка.

Посмотрите на форму, которую вы держите.Опишите это. Это (, , круг, , ).

Посмотрите на внешний край вашего круга. Как называется расстояние по внешней стороне круга? ( Окружность )

Сложите круг прямо пополам и хорошо согните его.

Раскройте круг, полученная складка - это ( диаметр ) круга.

Держите кружок на концах складки. Снова сложите круг пополам, но на этот раз совместите конечные точки складки.

Раскройте свой круг, это тоже диаметр? Откуда вы знаете? Линии ( пересекаются с )? Да. Есть ли что-то особенное в том, как эти линии пересекаются? Они образуют четыре угла 90 o (или прямых). Этот особый тип пересечения называется ( перпендикуляр ).

Поместите точку, не больше ширины карандаша, в точке соединения складок. Это называется ( центр ) круга.

Карандашом нарисуйте одну из линий от центра к краю круга. Эта линия от центра называется (радиус ).

Загните один из внешних изогнутых краев круга, пока он не коснется точки в середине. Хорошо согните.

Раскройте складку и посмотрите на только что сделанную складку. Это диаметр? Это радиус? Почему или почему нет? Эта линия называется (аккорд ).

Посмотрите на изогнутую часть круга между точками, где эта линия касается внешней стороны круга. Это называется ( arc ). Можете ли вы найти другие дуги на своем круге?

Возьмите противоположную сторону вашего круга и сложите его так, чтобы изогнутая часть касалась центра, а нижняя часть образовывала идеальную точку. Ваш круг будет похож на мороженое ( рожок ). Хорошо согните.

Загните верхнюю часть рожка мороженого вниз, пока изогнутая часть не коснется центра круга.Верхние углы должны образовывать идеальные точки, хорошо сгибаться. Теперь опишите свою форму. ( Треугольник ) Вы замечаете что-нибудь особенное в этом треугольнике? Посмотрите на все ( углов ), они такие же, как и все стороны одинаковые. Этот треугольник называется ( равносторонним и / или острым треугольником ). Вы также можете использовать ( равносторонний ).

Сложите новый треугольник пополам, совместив две точки.Хорошо мнется. Новое прекращение делит треугольник пополам, эта линия называется ( высота или высота ). Можете ли вы выяснить что-нибудь еще об этом треугольнике? Это прямоугольный треугольник ( ).

Раскройте прямоугольный треугольник до равностороннего треугольника.

Возьмите верхний угол большого треугольника и сложите его. Сгибая по складке высоты, вы можете совместить верхнюю точку до нижней линии сгиба.Внутри вы увидите три треугольника поменьше.

Переверните бумагу, чтобы не было видно складок. Как называется эта форма? Поскольку он имеет четыре стороны, его можно классифицировать как ( четырехугольник ). Поскольку у этого четырехугольника две стороны, которые являются ( параллельными ) и две, которые не являются, он также называется ( трапеции ).

Переверните его, чтобы теперь были видны все складки.Сложите один из внешних треугольников так, чтобы он лежал прямо поверх центрального треугольника. Переверните его и опишите форму, которую вы сейчас видите. Это не воздушный змей, в небе летают воздушные змеи. Это не бриллиант, я ношу бриллианты на пальцах. В математике эта форма называется ( ромб ).

Снова переверните фигуру и снова сложите последний внешний треугольник на центральный. У вас должен получиться равносторонний треугольник меньшего размера.

Раскройте все три маленьких треугольника.Соедините три свободные точки вместе, чтобы у вас получилась пирамида ( ). На этом этапе вы можете обсудить ( граней ) ( ребер ) ( точек ) ( вершин ) ( основание ) и тот факт, что это ( треугольная пирамида ), а не квадратная пирамида, как в Египте.

Откройте пирамиду до большого равностороннего треугольника.

Согните одну из точек так, чтобы она касалась точки посередине. Какую форму вы воссоздали? Трапеция хоть и не традиционной формы, но все же может быть идентифицирована как трапеция.

Сложите еще одну точку так, чтобы она касалась точки посередине. Какая у вас форма? ( Пентагон ) Несмотря на то, что это не та традиционная форма, к которой вы привыкли, у него все еще есть пять сторон, поэтому он по-прежнему классифицируется как пятиугольник.

Теперь сложите последнюю точку. Какой он сейчас формы? ( Hexagon ) Обсудите ( плоскость ) фигурки.

Переверните на другую сторону и вставьте один из углов в лоскут на противоположной стороне треугольника. Возможно, вам придется попробовать несколько. Выберите тот, который вам больше всего подходит. Сдвиньте последний угол под / внутрь других. Вы создали ( усеченный тетраэдр )!

Для любой формы во время этого упражнения вы можете попросить учащихся вычислить площадь поверхности, объем, периметр и / или площадь.

Предоставлено Анжелой Церадски

Содержание | Далее | Предыдущая

Эксперимент с водяным шлангом.

Это задание можно выполнить за один урок. Чтобы ответить на вопросы и сделать выводы, может потребоваться еще один урок, в зависимости от продолжительности вашего урока. Прекрасно подходит для весны, когда у школьников и учителей весенняя лихорадка.Его цель - найти оптимальный угол для достижения наибольшего расстояния. В зависимости от того, какой класс вы преподаете, это задание можно изменить.

История:

Простой транспортир - старинный прибор. Создан первый комплексный транспортир для определения положения лодки на навигационных картах. Названный трехрычажным транспортиром или указателем станции, он был изобретен в 1801 году Джозефом Худдартом, капитаном ВМС США. Центральный рычаг неподвижен, а два внешних поворотных, их можно установить под любым углом по отношению к центральному рычагу.

Материалы:

  • Транспортир
  • Карандаш
  • Бумага
  • Метр Палка или рулетка
  • Садовый шланг с насадкой
Процедуры:

Присоедините садовый шланг к водопроводному крану и отрегулируйте поток воды, чтобы он находился под постоянным давлением. Начните с угла 0 градусов к земле, измерьте и запишите расстояние, которое поток проходит в горизонтальном направлении по земле.Повторите эти действия для углов 20 o , 30 o , 45 o , 70 o и 75 o .

Вопросы и выводы:

  1. Какой угол позволил вам достичь максимальной дистанции?
  2. Нарисуйте путь, по которому прошла вода, и опишите форму пути.
  3. Можете ли вы придумать метод определения максимальной высоты воды под оптимальным углом? Кратко опишите свой метод.
  4. Если бы вы увеличили давление в водяном шланге, как бы это повлияло на угол, который вы бы использовали для достижения максимального расстояния при новом давлении?
  5. Какие связи вы можете установить с реальным миром в результате этого эксперимента?
Справка:

URL: http://inventors.about.com/science/inventors/libr.../blmeasurement.htm?terms=protractor+histor 14.06.00 20:30

Предоставлено Эми Траутман

Содержание | Далее | Предыдущий

Расчет числа Пи.

Примерно 4000 лет назад люди впервые начали понимать пи. Считалось, что его стоимость была около трех. Сегодня мы используем лучшее приближение числа Пи. Это 3,14. Пи - иррациональное число. Это означает, что он не повторяется в шаблоне. Пи определяется как отношение длины окружности к диаметру той же окружности. А теперь небольшое упражнение, которое поможет вам определить число Пи.

Материалы:

  • Рулетка
  • Строка
  • Метр стержня
Объектов, подлежащих измерению:
  • Фруктовая банка
  • Суп банка
  • Кофейная банка
  • Банка для сока
  • Коробка овсянки
  • V-8 банка
  • Банка с краской
Направление:

Сначала на листе бумаги сделайте 4 столбца с надписью: объект, диаметр, окружность и соотношение.(См. Пример ниже.) Оберните веревку вокруг объекта. Это измеряет окружность объекта. Измерьте шнур с помощью измерительной линейки. Запишите значение в столбец с надписью «длина окружности». Затем измерьте расстояние прямо поперек объекта. Поместите это значение в столбец, обозначенный как диаметр. Теперь возьмите длину окружности, разделенную на диаметр. Поместите это в столбец с надписью "Соотношение". Это близко к пи? Убедитесь, что вы приняли соотношение до трех или четырех десятичных знаков.

10
Объект Диаметр Окружность Отношение
Банка для фруктов
.. .
. . . .
Предоставлено Джереми Траутманом

Содержание | Далее | Предыдущий

Активность тесселяции.

Класс: 5 или 6

Время: 20-30 минут уроков

Необходимые материалы: Смесь многоугольников, таких как геоблоки, бумага, карандаш и цветные карандаши.

Урок 1

Фокус: Поместите различные формы наверх. Обсудите в классе сходства и различия форм.Сообщите учащимся, что фигуры представляют собой многоугольники (фигура на близком расстоянии). Расскажите о концепции мозаики и о том, как не должно быть разрывов или перекрытий. Продемонстрируйте концепцию наверху с помощью квадрата.

Задание: Попросите учащихся предсказать, какие фигуры будут мозаичными, а какие - нет. Составьте диаграмму, показывающую результаты прогнозов учащихся. Дайте каждому столу (или студенту, если возможно) набор фигур. Попросите учащихся индивидуально определить, будет ли фигура мозаикой.

Заключение: Обсудите всем классом, какая форма плитки на самом деле, а какая нет. Сравните открытия с предсказаниями на картах.

Завершение: Предложите учащимся определить многоугольник и то, что они узнали о нем, в короткой дневной записи.

Урок 2

В фокусе: Просмотрите концепции многоугольника и мозаики. Расскажите о термине тесселяция и о том, как он соотносится с уроком 1.Обсудите концепции скольжения, вращения (поворота) и отражения (переворачивания) и продемонстрируйте их на потолке.

Задание: Попросите учащихся выбрать две или более фигур. Попросите учащихся раскрасить каждую форму в один цвет. Попросите учащихся обвести фигуры черным маркером, если это слайд. Обведите фигуру синим маркером, если это вращение. Отражение следует обвести красным маркером.

Заключение: Попросите учащихся поднять руки, когда они закончили.Инструктор проверит результаты.

Закрытие: Обсудите, какие различные фигуры объединяют в мозаику результаты построения диаграмм. Разрешите учащимся записывать свои выводы.

Урок 3

Фокус: Просмотрите предыдущие уроки. Обсудите, как студенты будут применять свои знания техники мозаики для поиска концепции в искусстве.

Активность: Предоставьте несколько произведений разных художников, в том числе несколько произведений М.К. Эшер. Попросите учащихся изучить различные произведения искусства, чтобы выяснить, использует ли художник технику мозаики.

Заключение: Предложите учащимся обсудить, что они нашли в деталях. Выдвиньте гипотезу, почему художники использовали или не использовали технику тесселяции.

Окончание: Попросите учащихся записать свои выводы в своих дневниках.

Предоставлено CiCi Naifeh

Содержание | Далее | Предыдущая

Площадь и объем геометрических фигур.

Площадь геометрических фигур

Цель: Дать студенту возможность попрактиковаться в вычислении площади различных геометрических фигур.

Необходимые материалы: Использованные журналы, ножницы, линейки, клей, плотная бумага и калькуляторы

Процедура:
Часть 1-

  1. Попросите учащихся вырезать разные геометрические фигуры (треугольник, прямоугольник, параллелограмм, трапецию, круг, круговое кольцо) и наклеить на отдельный лист бумаги.
  2. Вычислите площадь каждой фигуры, используя правильную формулу площади.
Часть 2-
  1. Попросите учащихся создать свои собственные рисунки, используя геометрические фигуры на листе бумаги. (Может потребоваться некоторое время, поэтому можно назначить его в качестве домашнего задания.)
  2. Попросите учащихся сделать рисунки и наклеить их на отдельный лист бумаги с помощью цветной бумаги.
  3. После завершения рисунка попросите учащихся вычислить площадь своего рисунка, вычислив площадь каждой отдельной части и суммируя, чтобы найти общую площадь.
Часть 3-
Чтобы подчеркнуть процесс решения проблемы (решить проблему с помощью метода, о котором вы уже знаете), дайте учащимся упрощенную картинку, взятую из книжек-раскрасок, и попросите их оценить площадь изображения. Используя описанный выше метод, учащиеся должны разделить изображение по формам и вычислить площадь каждой формы, а затем суммировать формы областей, чтобы оценить площадь изображения.

Практическое применение: Если кто-то собирается красить комнату, необходимо определить общую площадь всех стен, чтобы купить нужное количество краски.

Объем геометрических фигур

Цель: Дать учащимся возможность визуально понимать трехмерные геометрические формы и практиковаться в вычислении объема.

Необходимые материалы: Самодельные ингредиенты для детской игры, плита, кастрюля, ложка, линейки и калькуляторы.

Процедура:
Часть 1-

  1. Ученикам понравится делать свои собственные лепешки по следующему рецепту:
    • чашка соли
    • 1 стакан муки
    • 2 чайные ложки винного камня
    • 1 стакан воды
    • 1 столовая ложка растительного масла
    • Пищевой краситель
    Добавьте пищевой краситель желаемого цвета в воду и масло и перемешайте в кастрюле.Вмешайте остальные ингредиенты. Нагрейте 2–3 минуты на среднем огне, пока плесень не начнет слипаться. Перенесите на вощеную бумагу и остудите на ощупь (на этом этапе она немного подсохнет). Разбейте шишки.
    [Вам нужно будет заранее определиться с суммой, необходимой для вашего класса.]
  2. После того, как учащиеся изготовят свою игровую площадку, предложите им поиграть с геометрическими фигурами (конус, цилиндр, сфера, ящик) и нарисуйте их на листе бумаги с размерами каждой фигуры.
  3. Рассчитайте объем каждой геометрической формы.
Часть 2-
  1. Попросите учащихся создать свой собственный трехмерный объект, используя их знания геометрических форм. (Может потребоваться некоторое время, поэтому можно назначить его в качестве домашнего задания.)
  2. Попросите учащихся нарисовать свой объект с размерами на отдельном листе бумаги.
  3. Оцените объем своего объекта, вычислив отдельные объемы для форм и суммируя объемы.
Практическое применение: Производителю необходимо определить объем контейнера, в котором должен быть отгружен продукт.
Предоставлено Джуди Ласатер

Содержание | Далее | Предыдущая

Какой формы ваша земля?

Цели:

  • - площади плоских фигур
  • - площади плоских фигур с одинаковым периметром
Уровень: Общая математика и предварительная алгебра

Материалы: Для каждого учащегося или группы: один лист миллиметровой бумаги, приклеенный или наклеенный на гофрированный картон или жесткий пенопласт; замкнутая петля из бечевки длиной 20 сантиметров; примерно шесть прямых булавок или канцелярских кнопок на учащегося или группу; карандаш и бумага для записей.

Историческая справка: Согласно римской мифологии Дидона была дочерью царя Тира. Ее брат Пигмалион убил ее мужа, и она сбежала, опасаясь за свою безопасность. Дидона пересекла Средиземное море со всем своим богатством и некоторыми товарищами и высадилась в североафриканском королевстве Ливия. Здесь она искала землю в качестве убежища для своей группы. Король согласился дать ей столько земли, сколько она сможет покрыть шкурой быка. Теперь Дидона кое-что знала о геометрии и хотела как можно больше земли.Она разрезала шкуру быка на тонкие полоски, а затем соединила их в одну длинную прядь. Как вы думаете, какую форму она заключила?

Состав: Учащиеся могут выполнять это задание индивидуально или в группах. Возможные групповые роли для четырех участников: двое учащихся должны создавать формы, один - для вычисления площадей, а один - для записи форм, размеров и площадей. Каждой группе понадобится один набор материалов, как описано выше: миллиметровая доска, канцелярские кнопки и веревка.

Задание: Учащиеся должны использовать веревку и канцелярские кнопки, чтобы разложить плоские фигуры на сетке.Студентам необходимо будет рассчитать площадь каждой фигуры, которую они создают, поэтому выбранные формы будут зависеть от базовых знаний учащихся. Предлагаемые фигуры: квадрат, прямоугольники, треугольники и круг. Напомните учащимся, что они могут образовывать более одного прямоугольника и более одного треугольника. Студенты должны рассчитать площади для каждой сформированной фигуры и решить, какую форму, по их мнению, следует выбрать Дидоне.

Примечание: , если это используется как упражнение для представления областей плоских фигур, учащиеся могут находить области, считая квадраты.В качестве дополнительного задания учащиеся должны использовать формулы площади.

Следующая таблица или аналогичная может быть предоставлена ​​для ведения учета:

Форма Размеры (длина, ширина, высота, сторона, радиус) Площадь
(количество квадратов)

Вопросы для обсуждения:

  1. Какие области вы нашли для:
    • квадратов?
    • прямоугольников?
    • треугольников?
    • кругов?
  2. Какая форма дала вам наибольшую площадь?
  3. Как вы думаете, какую форму следует выложить Дидоне?
Закрытие: Обсудите тот факт, что при постоянном периметре наибольшая площадь получается у круглой формы.Спросите студентов, где, по их мнению, эти знания могут быть полезны. Одна из идей, которые могут возникнуть, - это ограждение пастбища.

В конце концов Дидона отмерила форму полукруга, соединив одну точку на берегу с другой. Таким образом, вода составляла одно из ее требований, и у нее было дополнительное преимущество - выход к морю. Ей нужно было только использовать шкуру, чтобы оградить землю, поэтому область, которую она отметила, была как можно больше и желательна. Король Ливии сдержал свое слово и отдал ей землю.Зарекомендовала себя умная Дидона, будущая королева Карфагена.

Попросите учащихся развязать петли из веревок и использовать их 20-сантиметровые нити, чтобы сформировать полукруги по краям сетки. Вычислите площадь полученного таким образом полукруга, чтобы понять, насколько умен Дидона.

Связанная активность:

Следующий трюк может стать забавным введением в занятие.

Принесите в класс лист бумаги размером с лист бумаги для принтера.Спросите своих учеников: «Как вы думаете, я могу вырезать отверстие в этом листе бумаги и протолкнуть его (впишите имя какого-нибудь ученика в классе)»? Когда студенты выражают свой скептицизм, прорежьте в бумаге большое отверстие, просуньте руку в отверстие и мягко толкните выбранного ученика.

Затем достаньте новый лист бумаги с очень маленьким отверстием. Спросите, как вы думаете, я смогу провести (того же ученика) через лист бумаги с этим отверстием? Общая реакция будет такой, что вы, вероятно, не сможете, хотя некоторые студенты будут искать другой трюк.

Чтобы показать им, что вы можете делать то, что вы сказали, возьмите бумагу с таким же маленьким отверстием и прорезями, как показано на схеме ниже. Вы можете использовать уже имеющийся у вас лист и вырезать прорези, пока они ждут, но это займет много времени. Откройте прорези, чтобы образовалась одна огромная бумажная петля, и наденьте ее прямо на голову учеников. Вы сделали это!

Предоставлено Лори Кисс

Содержание | Далее | Предыдущая

Геометрический текстильный дизайн.

Иногда у студентов возникают проблемы с соотнесением математики с реальным миром; Следовательно, эта деятельность в области геометрического текстильного дизайна будет акцентировать внимание на геометрических формах и узорах в сочетании с художественным дизайном, компьютерными приложениями и возможностями карьерного роста.

Цель: Для каждого учащегося разработать свой собственный геометрический текстильный квадрат, который будет превращен в лоскутное одеяло.

Необходимые материалы: Тканевые квадраты геометрической формы (5 дюймов х 5 дюймов), шаблонная бумага, цветные карандаши, белые тканевые квадраты (5 дюймов х 5 дюймов), обрезки картона, малярная лента и краска для ткани.

Процедура:

  1. Дайте каждому ученику квадрат из геометрически спроектированного квадрата ткани и лист шаблона (лист бумаги с двумя нарисованными на нем квадратами размером 5 дюймов на 5 дюймов).
  2. Попросите учащихся перенести геометрический рисунок с ткани на бумагу, а затем раскрасить рисунок, используя ткань в качестве примера.
  3. Второй квадрат на шаблоне бумаги предназначен для того, чтобы нарисовать собственный геометрический рисунок ткани и раскрасить свой рисунок (используйте только цветные карандаши, в которых у вас есть тот же цвет, что и краски для ткани).
  4. Дайте каждому ученику квадрат из белой ткани и попросите их перенести свой рисунок на ткань (я предлагаю вам приклеить ткань к куску картона и использовать карандаш, чтобы перенести рисунок).
  5. Когда рисунок закончен карандашом, ученик использует краски для ткани, чтобы завершить рисунок.
  6. Соберите все дизайнерские квадраты и сшейте вместе, чтобы сделать геометрическое текстильное лоскутное одеяло, которое можно будет разместить в своей комнате.
Текстильный дизайн - это профессия, о которой большинство студентов никогда бы не подумало. Он сочетает в себе геометрию форм и узоров и добавляет художественного чутья, создавая ткань, приятную для глаз. Сегодня компьютерные приложения в геометрическом текстильном дизайне - это процесс, в котором большая часть тканей предназначена для производства.
Предоставлено Джуди Ласатер

Содержание | Далее | Назад

Изготовление многогранников.

Многогранник - это геометрическая фигура, которая является трехмерной версией плоского многоугольника (двумерного). Всего пять правильных многогранников. Это тетраэдр (4 грани), шестигранник или куб (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней).Ниже представлены выкройки двух многогранников, которые можно воспроизвести и трансформировать в трехмерные фигуры. Щелкните на фигурах, чтобы открыть окно с фигурой в нем для облегчения печати.


Предоставлено Сьюзан Истман

Содержание | Далее | Предыдущий

Геометрия

Геометрия - это всего фигур, и их свойства.

Если вам нравится играть с объектами или рисовать, то геометрия для вас!

Геометрию можно разделить на:


Плоская геометрия - это плоские формы, такие как линии, круги и треугольники ... фигуры, которые можно нарисовать на листе бумаги


Solid Geometry - это трехмерные объекты, такие как кубы, призмы, цилиндры и сферы.

Совет: по мере обучения попробуйте нарисовать некоторые формы и углы... помогает.

Точка, линия, плоскость и твердое тело

Точка не имеет размеров, только позиция
Линия одномерная
Самолет двумерный (2D)
Твердое тело трехмерное (3D)

Почему?

Почему мы делаем геометрию? Чтобы открывать закономерности, находить площади, объемы, длины и углы, а также лучше понимать мир вокруг нас.

Плоская геометрия

Плоская геометрия - это все о формах на плоской поверхности (например, на бесконечном листе бумаги).




Полигоны

Многоугольник - это двумерная фигура, состоящая из прямых линий. Треугольники и прямоугольники - это многоугольники.

Вот еще несколько:

Круг

Теоремы о круге (расширенная тема)

Символы

В геометрии используется много специальных символов.Вот вам краткая справка:

Геометрические символы

Конгруэнтные и похожие

Уголки

Типы углов

Преобразования и симметрия

Преобразований:

Симметрия:


Координаты

Более сложные темы по геометрии плоскости

Пифагор

Конические секции

Теоремы о круге

Центры треугольника

Тригонометрия

Тригонометрия - отдельная тема, поэтому вы можете посетить:

Твердая геометрия

Solid Geometry - это геометрия трехмерного пространства, в котором мы живем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *