Канторова лестница: интересный математический объект | Математика не для всех
Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех», чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Недавно в средствах массовой информации появилось совместное исследование сейсмологов из Уханьского и Миссурийского университетов. В своей статье ученые определили, что последовательность крупных землетрясений, возникающих на Земле, можно с большой точностью аппроксимировать особой функцией — так называемой канторовой лестницей, метко называемой «дьявольской». Разберемся же, почему? Поехали!
Источник: https://s3.wi-fi.ru/cp3o/hkA5zWHdbpgVi8mfBK4bRNDR?response-content-type=image/jpegПочему дьявольская?
Естественно, когда немецкий математик Георг Кантор формализовал свою функцию, никакой приставки «дьявольская» у нее не было.
Конечно, оно употреблялось, но приобрело воистину говорящее значение намного позже, когда два ученых Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе анализировали периодичность преступлений, совершенных Андреем Чикатило. Пытаясь понять, как работает мозг преступника, исследователи пришли к выводу, что он подчиняется определенному закону.
Итак, что за лестница?
Сравните с графиком выше. Определенная связь налицо! Источник: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/a/ad/Kantor_Stairs.png/500px-Kantor_Stairs.pngКанторова лестница — это непрерывная монотонная функция, которая не являясь константой, имеет производную равную нулю (!!! если на пальцах, то производная показывает скорость изменения функции, если функция является константой, то она и не изменяется, то есть её производная равна 0) почти во всех точках. Другими словами она является сингулярной функцией. Функция отображает значения аргумента из отрезка [0,1] в этот же отрезок (читайте мою статью про отображения множеств).
Сложно? Не тут-то было!
Как задается дьявольская лестница?
На самом деле очень просто — буквально на пальцах. Для этого берется интервал от 0 до 1 и делится на три части :
На среднем интервале значение функции принимается равным 1/2 (длинная полочка в середине графика). На следующем этапе берется левая и правая трети, и разбиение повторяется:
Например, на левой трети интервал разбит еще на три части, каждая длиной по 1/9. Значение же канторовой лестницы вычисляется как среднее между левым и правым значением, найденными на прошлой итерации. Так, K(x) в интервале от 1/9 до 2/9 равняется среднему от 0 (значение слева) и 1/2 (значение справа). Аналогичным способом действия происходят и с правой стороны.
Теперь у нас появляются новые интервалы : (0,1/9), (2/9,1/3), (2/3, 7/9) и (8/9,1).
Ну и дальше по этому алгоритму начинаем дробить все интервалы до бесконечно малых величин. Получаем отраженные на графике «полочки» и скачкообразные переходы значений функций.
Кстати, определяемое по этому алгоритму множество (помните, что это такое?) называется по аналогии «канторовым» — и является одним из простейших фракталов — множеством подобном самому себе. А уж о практической значимости фракталов в современной науке можно говорить ОЧЕНЬ долго и упорно»
Вот так, теоретическая до мозга костей математическая конструкция, известная еще с конца 19-века, находит своё неожиданное применение в реальной жизни. Никогда не переставайте удивляться математике!
Например, прочитайте статью из цикла «Формулы, изменившие мир», в которой речь пойдет об Эйлеровой характеристике.
********************************************
Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
Путеводитель по каналу «Математика не для всех»
******************************************
Последовательность крупных землетрясений описали канторовой лестницей
Сейсмологи из Миссурийского и Уханьского университетов проанализировали время возникновения крупных землетрясений на Земле и выяснили, что их распределение во времени можно описать математической функцией, известной как канторова, или «дьявольская» лестница.
Свою работу исследователи опубликовали в Bulletin of the Seismological Society of America.
Канторова лестница — это непрерывная монотонная функция, которая не описывается постоянной величиной, но при этом ее производная в почти всех точках равна нулю. С помощью нее можно описать поведение нелинейной динамической системы, изменение в любой части которой может повлиять на поведение всего целого. В природе эта закономерность может быть обнаружена, например, в процессе седиментации — оседания частиц, — изменениях скорости поднятия и эрозии и описании процессов в магнитном поле Земли.
Классическое моделирование в сейсмологии предполагает, что землетрясения будут происходить периодически или квазипериодически. Такие предсказания делаются на основе циклов нарастания и высвобождения тектонических напряжений. Но на самом деле крупные землетрясения почти не подчиняются такой модели. Чтобы описать периодичность таких событий и предсказать их в будущем, исследователи из Миссурийского и Уханьского университетов решили применить новую математическую функцию.
«Я наткнулся на эту функцию несколько лет назад, когда прочитал об исследовании двух ученых Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, которые анализировали временную структуру печально известного серийного убийцы Андрея Чикатило, который убил по меньшей мере 52 человека с 1979 по 1990 год в бывшем Советском Союзе, — объясняет сотрудник Уханьского университета Чэнь Миан Лю. — Временная схема его убийств — это лестница дьявола. Исследователи пытались понять, как работает мозг преступника. Я был заинтригован, потому что понял, что землетрясения работают аналогичным образом — разрыв одного разлома может стимулировать активность в других с помощью передачи напряжения».
Ученые обнаружили, что эти большие последовательности землетрясений (магнитудой 6,0 и больше) являются «более бурными», чем ожидалось. Они показали, что кластеризация землетрясений во времени приводит к более высокой вероятности повторения сейсмических событий вскоре после большого землетрясения. Нерегулярный разрыв между всплесками таких событий также затрудняет прогнозирование среднего времени между большими землетрясениями.
Однако каталоги крупных землетрясений в определенных регионах зачастую содержат слишком мало данных за короткий промежуток времени. Это не позволяло ученым сразу увидеть всю структуру лестницы. Выявленные исследователями закономерности позволят лучше прогнозировать будущие сейсмические события, основываясь на предыдущей активности в регионах.
escalier — Перевод на русский — примеры французский
На основании Вашего запроса эти примеры могут содержать грубую лексику.
На основании Вашего запроса эти примеры могут содержать разговорную лексику.
Un exemple classique de telle fonction est l’escalier de Cantor.
Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница.Je sais où mène cet escalier.
Mon escalier est plus haut de deux marches.
En montant l’escalier, j’ai croisé un homme qui sortait de chez vous.
ПоднимаясьTu prenais tout le temps l’escalier.
Vous trois, prenez un escalier.
Tu pends les habits dans le placard en face de l’escalier.
Вещи из химчистки повесишь в шкаф напротив лестницы.Prenez-le donc afin de couvrir l’escalier.
Oui, j’ai révisé le plan pour inclure l’escalier ouvert.
Да, но я переделала план для открытой лестницы.
6e etage, mais très bel escalier.
Va frotter l’escalier avant qu’il rentre en beuglant !
Иди помой лестницу, а то он вернется и станет кричать!Il pourrait y avoir un escalier interne qu’ils vont descendre…
Возможно, есть внутренняя лестница, по которой они спустятся.Combien de fois j’ai dis au Ministère de mettre un escalier ici.
Сколько раз я говорил Министерству, чтобы поставили лестницу.On pourrait plonger dans un escalier et se casser moins de vertèbres.
J’ai trouvé ma mère… au bas de l’escalier.
Le pire est en train de monter l’escalier.
Je l’ai enterré au pied de l’escalier et il est là.
Ken, Kinson. Surveillez l’escalier.
Passer, grimper l’escalier, et sortir en l’espace de quelques secondes.
Сможешь ли пройти мимо меня, подняться по лестнице… выбраться из здания, а секунды уходят… Gascogne gisait déjà au pied de son escalier. Сам Генри Гасконь уже лежал мёртвый у подножья лестницы.
Slate (Франция): «чертова лестница» маньяка Чикатило | Общество | ИноСМИ
У Чикатило было много прозвищ. Его называли «ростовским мясником», «ростовским людоедом», «ростовским потрошителем» или «ростовским монстром». Эти прозвища много говорят об украинце, убивавшем людей в окрестностях Ростова-на-Дону.
Детство Чикатило совсем не походило на сказку. Будущий маньяк родился в 1936 в семье, где его регулярно подвергали насилию. Как пишет в своей книге «Красный Потрошитель» журналист Питер Конради, Чикатило рос в нищете и голоде, его старший брат был похищен, убит и съеден соседями, ставшими людоедами. Очень тяжело оправиться от такого рода событий.
Вырвавшись из- под семейной опеки, Чикатило изучал литературу, языки, машиностроение, прежде чем стать учителем. В конце 1978 года он совершил свое первое убийство 9-летней Елены Закотновой. Его сразу задержали по подозрению в убийстве и допросили, но он избежал наказания благодаря судебной ошибке.
Впоследствии эксперты подтвердят, что Андрей Чикатило убивал потому, что его половое бессилие и травмы юности заставляли его искать сексуальное удовлетворение, пытая, калеча, убивая, а затем съедая своих жертв. По данным следствия, на счету ростовского мясника пятьдесят две жертвы: двадцать один мальчик и четырнадцать девочек в возрасте от 8 до 16 лет, а также семнадцать взрослых женщин. Чикатило хвастался тем, что совершил убийства еще трех человек, которые суд не учел. Правда вскрылась в апреле 1992 года.
Серийный маньяк в СССР? Это просто невозможно
Долгое время, как пишет Пьер Лоррен в своей книге «Ростовский монстр», посвященной уголовному расследованию периода распада СССР (датируемого 1993 годом), СССР отказывался признать, что десятки установленных убийств совершил один и тот же человек, считая невозможным, что социалистическое общество было способно порождать серийных убийц.
После признания очевидности фактов через несколько десятилетий страна провела полмиллиона проверок личности и более 150 тысяч анализов крови. Цель: найти совпадение с высохшей спермой, обнаруженной на одном из мест преступления
Дело Чикатило стало настолько ошеломляющим еще и потому, что у него взяли кровь на анализ и результат оказался отрицательным. Когда свидетельства против него стали множиться, и его вина перестала подвергаться сомнению, были проведены новые анализы, показавшие, что убийца обладал чрезвычайно редкой особенностью: клетки его спермы и его крови имели различную гистосовместимость, как будто они принадлежали двум разным людям. Благодаря такой редкой генетической особенности Андрею Чикатило долгое время удавалось избегать наказания.
Построив график, отражающий совокупное число убийств, совершенных Чикатило, они получили кривую, называемую «канторова лестница» (от имени немецкого математика XIX века), иногда ее называют «чертова лестница». Эта неравномерная лестница соответствует функции, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках. У Кантора значения варьируются от 0 до 1, но два исследователя просто перераспределили шкалу, так что кривая увеличилась с 0 до 53.
Первая кривая, которую можно назвать «чикатиловской лестницей», представляет собой два горизонтальных сегмента в период с 1983 по 1987 год, которые длиннее других. Однако ученые не отразили в своем исследовании то, что один сегмент соответствует первому аресту Чикатило, который не позволил его разоблачить, но заставил его прекратить убийства, а другой сегмент совпадал с периодом, когда пресса начала активно писать о череде убийств, которые произошли в Ростовской области, и что наверняка заставило маньяка на время залечь на дно.
На графике можно видеть регулярное появление одного и того же мотива: последовательность нескольких маленьких ступенек расположенных очень близко друг к другу, прежде чем появится новый порог. Согласно анализу ученых, каждый порог соответствует фазе, во время которой убийца, пресытившийся своими предыдущими преступлениями, не сразу чувствует потребность начать заново убивать. Ему нужно прийти в форму, и тогда он снова испытает потребность убивать: «Не следует ожидать, что маньяк совершит убийство в тот самый момент, когда его нервное возбуждение превысит определенный уровень.
Перерывы между убийствами, описанные выше, в конечном итоге мало что значат. Несмотря на это, Ройховдхури и Симкин сумели смоделировать временное распределение преступлений, совершенных Чикатило. Они выявили существование степенного закона, то есть математической связи между частотой убийств и их числом. Другими словами, с годами частота преступлений Чикатило снижалась очень медленно.
Расчеты ученых позволили им определить, что показатель кривой степенного закона был равен 1,4, а сравнение между теоретической кривой, связанной с таким законом, и реальными данными, собранными о ростовском мяснике, позволяет понять, что такое моделирование приемлемо.
Убийцы, художники, эпилептики…
Ройховдхери и Симкин пришли к убеждению, что некие процессы происходят на нейронном уровне. У них возникла идея сравнить данные, касающиеся Чикатило, с данными больных эпилепсией, и сравнить распределение преступлений первого и припадков, пережитых вторыми.
Они не первые, кто применил такую аналогию, поскольку в 1887 году профессор Чезаре Ломброзо, основатель итальянской школы криминологии, подробно это описал в своей книге «Преступный человек» (с подзаголовком прирожденный преступник, помешанный, эпилептик).
Ломброзо, увлеченный изучением эпилепсии, десятью годами ранее опубликовал еще одну книгу «Гениальность и помешательство», в которой говорится о связи гениальности с безумием. В книге врач провел четкую и аргументированную параллель между эпилепсией и вдохновением в искусстве и науке. Согласно Ломброзо между преступностью и творчеством один шаг.
Судя по всему у преступников, людей творческой профессии или эпилептиков, мозг постепенно накапливает информацию, связанную с нервными импульсами, и это в конечном итоге вызывает неожиданное изменение порога. Как последняя капля, внезапно переполнившая чашу, когда никто не мог этого предвидеть.
Увлеченность Михаила Симкина и Ввани Ройховдхури не вызывает сомнений, равно как и некоторое разочарование, вызванное их исследованиями.
В своих работах оба исследователя объясняют, что им не хватает важной информации. Несмотря на свою высокую активность, Чикатило, вероятно, сталкивался с неудачами, и некоторые непредвиденные события заставляли его останавливаться. Ученые говорят, что они могли бы пойти гораздо дальше в анализе действий убийцы, если бы у них была информация о неудачных попытках Чикатило. Их гипотеза состоит в том, что неудавшееся убийство очень скоро могло вызвать новую попытку, чтобы удовлетворить потребность и подавить разочарование. Но отсутствие этих данных не позволяет им сделать однозначные выводы.
20 ноября 1990 года Андрея Чикатило арестовали возле его дома, через две недели после проверки документов, во время которой на его лице были замечены следы травы и крови. Ростовский Потрошитель не пытался отрицать свою вину. В суде он утверждал, что страдал от «своего рода болезни». Суд над Чикатило продолжался с апреля 1992 года. 15 октября того же года он был приговорен к смертной казни и казнен в феврале 1994 года после того, как отправил более пятидесяти жертв на «чертову лестницу».
Материалы ИноСМИ содержат оценки исключительно зарубежных СМИ и не отражают позицию редакции ИноСМИ.
ИСТИННАЯ ПРИРОДА КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ . Фрактальная геометрия природы
Читателю, который продержался до этого места и/или/ наслышан об активно сейчас обсуждаемых в научной литературе чертовых лестницах (см. пояснение к рис. 125), возможно, будет сложно поверить в то, что, когда я начал работу над этой темой в 1962 г., все вокруг были единодушны в том, что канторова пыль по меньшей мере столь же чудовищна, как кривые Коха и Пеано.
Каждый уважающий себя физик автоматически «выключался» при одном только упоминании имени Кантора, порывался убежать за тридевять земель от всякого, заявляющего о научной ценности множества C, и всех желающих слушать с готовностью уверял в том, что все подобные заявления были приняты, рассмотрены и найдены беспочвенными. Поддержали меня в то время только предположения С. Улама (совершенно завораживающие, несмотря на отсутствие должной проработки и неприятие научной общественностью) относительно возможной роли канторовых множеств при изучении гравитационного равновесия в звездных скоплениях (см.
[570]).
Чтобы опубликовать работу о канторовой пыли, мне пришлось убрать из нее всякое упоминание имени Кантора!
Однако случилось так, что Природа сама привела нас к множеству C. В главе 19 мы поговорим еще об одной, совершенно иной, физической роли для C. Все это призвано подчеркнуть, что истинная природа канторовой пыли весьма разнообразна.
Несомненно, в большинстве случаев само множество C представляет собой весьма грубую модель, нуждающуюся в многочисленных уточнениях. И все же я настаиваю, что те самые свойства, благодаря которым многие считают канторовы дисконтинуумы патологией, незаменимы при моделировании перемежаемости и должны быть сохранены в последующих, более реалистичных, заменителях этих множеств.
Рис. 120 и 121. КАНТОРОВЫ ТРОИЧНЫЕ ГРЕБЕНЬ И БРИКЕТ (РАЗМЕРНОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ D=ln2/ln3=0,6309). КОЛЬЦА САТУРНА. КАНТОРОВЫ ЗАНАВЕСЫ
Инициатором для канторовой пыли служит интервал [0, 1], а генератор имеет следующий вид:
Рис. 120. Канторову пыль необычайно трудно изобразить на рисунке, так как она настолько тонка и разрежена, что практически невидима. Для получения хоть какого-нибудь представления о ее форме, утолщим исходный интервал и назовем результат канторовым гребнем. < Строго говоря, у нас получится декартово произведение канторовой пыли длины 1 на отрезок длины 0,03. ?
Створаживание. Построение канторова гребня описывается процессом, который я назвал створаживанием. Сначала изобразим стержень круглого сечения (в проекции получится прямоугольник с соотношением «высота/длина», равным 0,03). Удобнее всего представить, что материал, из которого изготовлен стержень, имеет очень малую плотность. Затем материал стержня начинает «створаживаться», смещаясь из средней трети стержня к его крайним третям, причем положение последних остается при этом неизменным. При дальнейшем створаживании вещество уходит из средних третей каждой из крайних третей уже в их собственные крайние трети и так далее до бесконечности.
В пределе мы получим бесконечно большое количество бесконечно тонких пластин бесконечно большой плотности. Эти пластины распределены вдоль прямой весьма особенным образом, обусловленным производящим процессом. На рисунке створаживание остановлено на этапе, соответствующем предельному разрешению как типографского пресса, так и человеческого глаза, — последняя строка неотличима от предпоследней; каждый из элементов последней строки выглядит просто как темная линия, тогда как на самом деле представляет собой две тонкие пластины, разделенные пустым промежутком.
Канторов брикет. Выберем в качестве исходного объекта для створаживания круглый корж, толщина которого значительно меньше его диаметра, и пусть тесто при створаживании разделяется на более тонкие коржи (освобождая место для соответствующей начинки). В результате получим этакий бесконечно экстраполированный «наполеон», который можно назвать канторовым брикетом.
Кольца Сатурна. Раньше считалось, что Сатурн окружен одним сплошным кольцом.
Затем была открыта щель, разделяющая кольцо, потом еще одна, и наконец «Вояджер-I» обнаружил огромное количество таких щелей, в большинстве своем очень узких. «Вояджер» также установил, что кольца прозрачны: они пропускают солнечный свет… как и подобает множеству, названному нами «тонким и разреженным».
Таким образом, структура колец (см. [542], особенно иллюстрацию на обложке) являет собой, по всей видимости, совокупность близко расположенных окружностей, причем радиус каждой из этих окружностей соответствует расстоянию от некоторой точки отсчета до некоторой точки канторовой пыли. < Специальное название для такого множества — декартово произведение канторовой пыли на окружность. Вообще говоря, мы, наверное, получим более близкую к оригиналу картинку, если умножим окружность на пыль положительной меры, подобную тем, что рассматриваются в главе 15. ? Добавление в последнюю минуту: та же идея независимо от меня озарила и авторов [10], только они соотнесли ее с уравнением Хилла; в Примечании 6 к упомянутой работе содержится немало других соображений по существу вопроса.
Спектры. Хартер описывает в [199] спектры некоторых органических молекул; сходство этих спектров с канторовой пылью потрясает.
Рис. 121. Этот рисунок помогает яснее представить форму канторовой пыли посредством помещения ее среди остальных пылевидных множеств с N=2 и переменным значением r. На вертикальной оси откладывается либо само значение r, изменяющееся в интервале от 0 до 1/2 (внизу), либо размерность D в интервале от 0 до 1 (вверху). Верхняя граница обоих занавесов — это полный интервал [0, 1]. Любой горизонтальный срез на каждом из рисунков представляет собой какую-либо канторову пыль (стрелками показаны значения r=1/3 и D=0,6309).
Знаменитый греческий парадокс. Греческие философы полагали, что условием неограниченной делимости тела является его непрерывность. Очевидно, они ничего не знали о канторовой пыли.
Рис. 125. ФУНКЦИЯ КАНТОРА, ИЛИ ЧЕРТОВА ЛЕСТНИЦА (РАЗМЕРНОСТЬ D=1, РАЗМЕРНОСТЬ МНОЖЕСТВА АБСЦИСС ПОДСТУПЕНЕЙ D ~ 0,6309).
КАНТОРОВО ДВИЖЕНИЕ
Функция Кантора описывает распределение массы вдоль канторова гребня, показанной на рис. 120. Многие называют график этой функции чертовой лестницей — она и впрямь ведет себя весьма странно, чтобы не сказать больше. Условимся, что и длина, и масса гребня равны 1; кроме того, каждой точке абсциссы R поставим в соответствие массу M(R), содержащуюся между 0 и R. Поскольку в паузах никакой массы нет, функция M(R) на этих интервалах остается постоянной. Учитывая, что створаживание никоим образом не влияет на общую массу гребня, можно заключить, что функция M(R) должна возрастать хоть где-нибудь между точкой с координатами (0, 0) и точкой с координатами (1, 1). Она и возрастает, только происходит это на бесконечно большом числе бесконечно малых и группирующихся в очень тесные скопления участков, соответствующих полученным нами пластинам гребня. Подробнее о странных свойствах функции Кантора можно прочесть в работе [216].
Регуляризующие отображения. Чертова лестница может похвастаться одним выдающимся свойством: с ее помощью можно отобразить вопиющую неоднородность канторова гребня в нечто пристойно однородное и равномерное. Взяв два различных интервала одинаковой длины на вертикальной оси графика обратной канторовой лестницы, мы обнаружим, что масса двух соответствующих наборов пластин одинакова — хотя на вид они, как правило, сильно отличаются.
Поскольку самым буйным цветом наука цветет именно на почве однородности, такие регуляризующие преобразования часто способны преодолеть преграду между фрактальной иррегулярностью и математическим анализом.
Фрактальная однородность. Распределение масс в канторовом гребне удобно полагать фрактально однородным.
Канторово движение. Как и в случае рассматриваемой в виде движения кривой Коха или движения Пеано, иногда удобно интерпретировать ординату M(R) как время. Тогда обратная функция R(M) будет определять положение точки при канторовом движении в момент времени t.
Движение это в высшей степени дискретно. В главах 31 и 31 мы рассмотрим его линейные и пространственные обобщения.
Фрактальная размерность. Сумма ширины всех ступеней чертовой лестницы равна сумме высот всех этих ступеней — каждая из сумм равна 1. Следовательно, чертова лестница имеет совершенно определенную длину, равную 2. Кривая конечной длины называется спрямляемой, а ее размерность D равна 1. Из этого примера хорошо видно, что размерность D=1 вполне совместима с наличием бесконечного множества особых точек — при условии, что они достаточно редко разбросаны.
< Кое-кому, возможно, захочется назвать представляемую вашему вниманию кривую фрактальной, однако для этого нам придется пойти на менее строгое определение фракталов, которое бы наряду с размерностью D основывалось еще на каких-то других понятиях. ?
Сингулярные функции. Канторова лестница представляет собой неубывающую и непостоянную сингулярную функцию — сингулярную в том смысле, что она непрерывна, но не дифференцируема.
Ее производная обращается в нуль почти везде, к тому же она ухитряется непрерывно изменяться на множестве, длина — т. е. линейная мера — которого стремится к нулю.
Любая неубывающая функция может быть представлена в виде суммы некоторой сингулярной функции, некоторой функции, состоящей из дискретных скачков, и некоторой дифференцируемой функции. Два последних слагаемых являются классикой в математике и широко используются в физике. Сингулярную же составляющую большинство физиков считает абсолютно бесполезной патологией. Последнее мнение является абсолютно безосновательной чепухой — это заявление можно считать лейтмотивом настоящего эссе.
Чертовы лестницы в статистической физике. Публикация этого рисунка в эссе 1977 г. привлекла к чертовым лестницам внимание физиков и послужила стимулом для многочисленных исследований. Все чаще мне встречаются в книгах и статьях графики, напоминающие «занавес» на рис. 121 или занавес Фату на рис. 273. В этой связи рекомендую заглянуть в [9], где разрозненные — хотя и весьма важные — ранние исследования (например, [11], [218]) объединены с новыми разработками в данной области.
Убийства Андрея Чикатило можно было предсказать при помощи математической модели
Андрей Чикатило, один из самых известных серийных убийц XX века, до сих пор вызывает неподдельный интерес у исследователей. В США, например, математики провели исследование и обнаружили, что преступления советского маньяка можно было предвидеть при помощи специальной модели, которую называют «дьявольская лестница».
Что такое «дьявольская лестница»
Специалисты из Калифорнийского университета за базу своей новой работы взяли убийства Чикатило, которые он совершал с 1978 по 1990 год. Временные разрывы между преступлениями советского маньяка разные, и они кажутся совершенно хаотичными. Ввани Ройховдхури и Михаил Симкин создали графическую кривую и с изумлением осознали, что она отражается в математической модели «канторова лестница», которую также ещё называют «дьявольская лестница».
Принцип «дьявольской лестницы» заключается в том, что она описывает поведение нелинейной динамической системы, изменение на любом участке которой способно влиять на поведение целого. Эксперты считают, что данную модель можно использовать в прогнозировании землетрясений, причем весьма успешно.
Ранее сообщалось, почему жена Андрея Чикатило не замечала более 10 лет, что муж убивает людей.
Ройховдхури и Симкин смогли доказать, что «канторову лестницу» можно применять для предсказания действий преступника. После первого преступления есть большая вероятность того, что через некоторое время случится и следующее. Временные промежутки могут быть различными, и это характерный момент «дьявольской лестницы».
ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ: Исчезновение детей Бомонт стало одним из громких преступлений Австралии
Научная работа Ройховдхури и Симкина привлекла внимание Эндрю Перкинса, являющегося специалистом по клинической психологии из Университета Аризоны, Соединённые Штаты Америки.
Он уверен, что эту разработку можно внедрить в изучение поведения преступников, в том числе и серийных убийц. Интересно, что таким образом проверили не только Андрея Чикатило, но и других известных маньяков, результаты которых также оказались схожи с «канторовой лестницей».
Убийства Андрея Чикатило
Чикатило арестовали в 1990 году по подозрению в серии жестоких убийств женщин и детей. На протяжении нескольких дней он практически ничего не говорил по поводу того, в чем его подозревают, но затем начал всё-таки говорить. Он признался, что первое убийство совершил в 1978 году. Жертвой стала школьница, труп которой он выбросил в реку. Кстати, по обвинению в данном убийстве осудили и расстреляли другого человека, который был невиновен.
Следствие доказало 53 убийства, совершенных Чикатило, но есть мнение, что жертв было гораздо больше. Маньяка казнили в 1994 году посредством расстрела.
ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ: Загадочные преступления, известные всему миру, которые до сих пор не раскрыты
Канторова лестница: интересный математический объект | Математика не для всех
Подписывайтесь на канал в Яндекс.
Дзен или на канал в телеграм «Математика не для всех» , чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK , Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!
Недавно в средствах массовой информации появилось совместное исследование сейсмологов из Уханьского и Миссурийского университетов.В своей статье ученые определили, как называемой канторовой лестницей, метко называемой «дьявольской», можно с большой точностью аппроксимировать особую функцию. Разберемся же, почему? Поехали!
Источник: https://s3.wi-fi.ru/cp3o/hkA5zWHdbpgVi8mfBK4bRNDR?response-content-type=image/jpegПочему дьявольская?
Естественно, когда немецкий математик Георг Кантор формализовал свою функцию, никакой приставки «дьявольская» у нее не было.Конечно, оно употреблялось, но приобрело воистину говорящее намного позже, когда два ученых Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе анализировали периодические преступления, совершенных Андреем Чикатило.
Пытаясь понять, как работает мозг преступника, исследователи пришли к выводу, что он подчиняется определенному закону.
Итак, что за лестница?
с графиком выше. Определенная связь налицо! Источник: https: // загрузить.wikimedia.org/wikipedia/ru/thumb/a/ad/Kantor_Stairs.png/500px-Kantor_Stairs.pngКанторова лестница — это непрерывная монотонная функция, которая не являясь константой, имеет производную равную нулю (!!! если на пальцах, то производная показывает скорость изменения функции, если функция является константой, то она и не изменяется, то есть ее производная равна 0) почти во всех точках. Другими словами она является сингулярной функцией . Функция отображает значения аргумента из отрезка [0,1] в этом же отрезке (читайте мою статью про отображение множества).Сложно? Не тут-то было!
Как задается дьявольская лестница?
На самом деле очень просто на пальцах. Для этого берется интервал от 0 до 1 и делится на три части:
На среднем интервале значение функции принимается равным 1/2 (длинная полочка в средней графике).
На следующем этапе берется левая и правая трети, и разбиение повторяется:
, на левой трети интервал разбит еще на три части, каждую длину по 1/9. Значение же канторовой лестницы вычисляется как среднее между левым и правым значением, найденными на прошлой итерации.Так, K (x) в интервале от 1/9 до 2/9 равняется среднему от 0 (значение слева) и 1/2 (значение справа). Аналогичным образом действуют и с правой стороны.
Теперь у нас появляются новые интервалы: (0,1 / 9), (2 / 9,1 / 3), (2/3, 7/9) и (8 / 9,1).
Ну и дальше по этому алгоритму начинаем дробить все интервалы до бесконечно малых величин. Получаем отраженные на графике «полочки» и скачкообразные переходы значений функций.
Кстати, определяемое по этому алгоритму множество (помните, что это такое?) Называется по аналогии «канторовым» — и является одним из простейших фракталов — множеством подобному себе.
Вот так, теоретическая до мозга костей математическая конструкция, известная еще с конца 19-го века, находит свое неожиданное применение в реальной жизни, Никогда не переставайте удивляться математике!
Например, прочитайте статью из цикла «Формулы, изменившие мир», в которой речь пойдет об Эйлеровой характеристике.
*********************** ********************
Спасибо за прочтение! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием.
П утеводитель по каналу «Математика не для всех»
************************** ****************
escalier — Перевод на русский — примеры французский
На основании вашего запроса эти примеры могут содержать грубую лексику.
На основании вашего запроса эти примеры могут содержать разговорную лексику.
Un example classique de telle fonction est l ‘ escalier de Cantor.
Исторически первым примером сингулярной функции является Канторова лестница . Je sais où mene cet escalier .
Пн escalier est plus haut de deux marches.
En montant l ‘ escalier , j’ai croisé un homme qui sortait de chez vous.
Поднимаясь по лестнице , я встретил человека выходившего от вас.Tu prenais tout le temps l ‘ escalier .
Vous trois, prenez un escalier .
Tu pends les Hbits dans le placard en face de l ‘ escalier .
Вещи из химчистки повесишь в шкаф напротив лестницы .Prenez-le donc afin de couvrir l ‘ escalier .
Oui, j’ai révisé le plan pour inclure l ‘ escalier ouvert.
6e etage, mais très bel escalier .
Va frotter l ‘ escalier avant qu’il rentre en beuglant!
Иди помой лестницу , а то он вернется и станет кричать!Il pourrait y Avoir un escalier interne qu’ils vont Desndre …
Возможно, есть внутренняя лестница , по которой они спустятся.Combien de fois j’ai dis au Ministère de mettre un escalier ici.
Сколько раз я говорил руководству, чтобы поставили лестницу . On pourrait plonger dans un escalier et se casser moins de vertèbres.
J’ai Trouvé ma mère … au bas de l ‘ escalier .
Le pire est en train de monter l ‘ escalier .
Je l’ai enterré au pied de l ‘ escalier et il est là.
Кен, Кинсон. Surveillez l ‘ escalier .
Passer, grimper l ‘ escalier , et sortir en l’espace de quelques Seconddes.
Сможешь ли пройти мимо меня, подняться по лестнице … выбраться из здания, а секунды уходят … Gascogne gisait déjà au pied de son escalier .
График убийств Чикатило оказался похож на «дьявольскую лестницу» / Новости
Г лавное: Американские ученые проанализировали хронолог убийств Андрея Чикатило и получили график в виде так называемой «канторовой лестницы», которую еще называют «дьявольской».
Детали: Ученые из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе проанализировали хронологию убийств одного из самых известных серийных маньяков Андрея Чикатило.Как сообщает «Обозреватель» со ссылкой на западные СМИ, в своем исследовании они распределили 53 преступления, совершенные с 1978 г по 1990 г, когда он был задержан.
На получившемся графике можно увидеть определенную последовательность из маленьких ступенек и порогов затишья. Каждый такой порог соответствует фазе, во время которой убийца, пресытившись преступления, останавливался, чтобы «обрести форму» и снова испытать потребность убивать.
Получившаяся кривая называется «канторовой лестницей» (по имени немецкого математика XIX века).
По мнению исследователей, маньяка можно сравнить с приступами эпилепсии у больного человека или творческими порми одаренной личности, мозг постепенно накапливает информацию, связанную с соответствующими импульсами, и в итоге вызывает неожиданное изменение порога, как капля внезапно переполняющая сосуд.
В то же время ученые признают, что их анализ не является полным отсутствием информации о преступлениях, которые по тем или иным причинам не были реализованы.
Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда также называется «чертовой лестницей» или «дьявольской лестницей».
В тему: Андрей Чикатило — советский серийный убийца, насильник, педофил, некросадист, некрофил и каннибал.
Один из самых известных серийных маньяков современности. В период с 1982 по 1990 годы Чикатило совершил в Ростовской области и других регионах СССР 43 доказанных убийства.
Следствие предъявило ему обвинение в совершении 53 убийств, сам преступник сознался в 56, а, по оперативным сведениям, маньяк убил более 65 человек. В приговоре первой инстанции значилось 52 убийства, которые датировались периодом с 1978 по 1990 годы, из которых 9 были исключены из приговора Верховным Судом РФ за недоказанностью.
Результат ошибок следователей и экспертов был расстрелян невинный человек.
Самого же Чикатило приговорили к смертной казни и расстреляли в феврале 1994 года.
Что происходит — Ученые заявили, что землетрясения можно …
Ученые заявили, что землетрясения можно прогнозировать, используя «лестницу дьявола»
https://chto-proishodit.ru/technology/science/5395
Прогнозировать землетрясения поможет « лестница дьявола », заявили сейсмологи из Миссурийского и Уханьского университетов.
О своем исследовании они рассказали на страницах Бюллетень Сейсмологического общества Америки.Как объяснили ученые, проанализировали случаи возникновения землетрясений на Земле и их исследований, что их распределение времени можно описать математической функцией, известной как канторова, или «дьявольская лестница». Для тех, кто не слишком знаком с математикой, исследователи уточнили, что канторова лестница — это непрерывная монотонная функция, которая не описывается постоянной величиной, но при этом ее производная в почти всех точках равна нулю. Данная функция позволяет описать поведение нелинейной динамической системы, изменение любой части которой может повлиять на поведение всего целого.В природе, к примеру, такая функция может быть использована для прогнозирования скорости поднятия и эрозии, а также описании процессов в магнитном поле Земли. При применении классического моделирования в сейсмологии, получается, что землетрясения происходит периодически или квазипериодически. В таком прогнозировании учитываются данные, собранные о циклах нарастания и высвобождения тектонических напряжений.
Но, как показывает практика, крупные землетрясения редко вписываются в такую модель.Поэтому ученые из Миссурийского и Уханьского университетов решили применить новую математическую функцию для их прогнозирования. По словам ученых, применение «лестницы дьявола» позволяет использовать больше различных факторов, что делает прогнозирование землетрясений более точным. Ган Ло из Уханьского университета оценивает, что на вероятность землетрясения изменение фрикционных свойств и передача напряжений между разломами или сегментами разлома во время разрыва. Эти показатели, в свою очередь, зависят от фоновой скорости тектонических деформаций и отличаются в различных регионах.
Ученые заявили, что землетрясения можно прогнозировать, используя «лестницу дьявола»
Анна Лисова
«Дьявольская лестница» Андрея Чикатило: старый — LiveJournal
История одного из самых кровавых маньяков СССР Андрея Чикатило не дает покоя даже современным ученым. Примечательно, что исследованиями в этой сфере занялись даже математики.
Так, в 2012 году сотрудники Калифорнийского международного университетанили, совершенные Чикатило, можно было предсказать с помощью так называемой дьявольской лестницы.Дело Чикатило
Андрей Чикатило был арестован в ноябре 1990 года. Однако, как утверждает автор издания «Неправосудные приговоры к смертной казни», Николай Китаев, со ссылкой на материалы уголовного дела, в течение 10 дней после ареста маньяк не давал следствию никаких конкретных действий, лишь намекая на совершенные им злодяния. Но после предъявленных обвинений в 36 эпизодах, Чикатило заявило, что свое «дебютное» преступление он совершил еще в декабре 1978 года. Маньяк, проживавший тогда в городе Шахты, бросил труп малолетней девочки в реку рядом с мостом.Оказалось, что данное дело было давно закрыто, так как по нему был осужден и казнен совсем другой человек.
Расправившись с первой жертвой, Чикатило затаился. Если верить Владимиру Демченко, автору книги «Главные преступления советской эпохи», второе преступление маньяк решился только в сентябре 1981 года, после чего снова последовал годовой перерыв.
А потом страну захлестнула волна смертей. В 1982 году Андрей Чикатило убил 7 человек, в 1983 году — 8, в 1984 году — 15, в 1985 году — 2, в 1987 году — 3, в 1988 году — 3, в 1989 году — 5, в 1990 году — 8 .Свою последнюю жертву преступник растерзал в ноябре 1990 года. Всего советский потрошитель лишил жизни 53 человека, многие из которых были детьми.
Модель для прогноза землетрясений
Именно 53 убийства, совершенные Андреем Чикатило в период с 1978 по 1990 годы, и взяли за основу своего исследования ученых из Калифорнийского университета. Как сообщает служба научных новостей Science X, в 2012 году Ввани Ройховдхури и Михаил Симкин из отдела электротехники, принявшие во внимание не только сами преступления, но и интервалы между ними, которые на первый взгляд кажутся абсолютно случайными, построили графическую кривую.Оказалось, что график Ройховдхури и Симкина отражает математическую модель, известную как «канторова лестница» (по фамилии немецкого ученого). Иногда ее еще называют «чертовой» или «дьявольской лестницей».
Вообще «дьявольская лестница» позволяет описать нелинейную динамическую систему, изменяя любую часть которой может повлиять на поведение целого. В частности с помощью «канторовой лестницы», представляющей себя непрерывно монотонной функцией, которая не описывается величиной, но при этом ее производной почти во всех точках равна нулю, можно предсказывать землетрясения.По крайней мере, именно к такому выводу пришли сейсмологи из Миссурийского и Уханьского университетов. Результаты данного исследования приведены в издании Бюллетень Сейсмологического общества Америки. По утверждению специалистов, прогнозирование землетрясений с использованием «лестницы дьявола» отличается большей, чем прочие методы.
Математики как следователи
Между тем Ввани Ройховдхури и Михаил Симкин доказали, что с помощью «канторовой лестницы» следователи могут предсказать и поведение преступника.Об этом Ройховдхури сообщил в студенческой газете Калифорнийского университета The Daily Bruin.
Симкин же добавил, что, согласно математической функции, существует высокая вероятность того, что после совершенного убийства произойдет другое. Причем, интервалы между преступлениями как начало, так и короткими. Как уже было принято выше, Чикатило иногда выходил на «охоту» через несколько дней после очередной расправы, а порой затихал на несколько месяцев или даже лет. Примечательно, что данный аспект является характерной чертой «лестницы дьявола».
Результаты исследования Ввани Ройховдхури и Михаила Симкина вызвали интерес у Эндрю Перкинса, аспиранта по клинической психологии из Университета Аризоны. Перкинс, который работает в лаборатории криминалистических исследований и исследований секса, выразил надежду на то, что открытие Ройховдхури и Симкина будет изучать и прогнозировать поведение серийных убийц. Поэтому Перкинсал психологов и нейробиологов продолжить исследования в данном направлении. Интересно, что упомянутые ученые показали аналогичные исследования в отношении других серийных убийц, которые показали совпадение с «канторовой лестницей».
Источник
ИСТИННАЯ ПРИРОДА КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ. Фрактальная геометрия природы
Читателю, который продержался до этого места и / или / наслышан об активно обсуждаемых в научной литературе чер лестницах (см. Пояснение к рис. 125), возможно, будет сложно поверить в то, что, когда я начал работу над этой темой в 1962 г., все вокруг были единодушны в том, что канторова пыль по меньшей мере столь же чудовищна, как кривые Коха и Пеано.
Каждый уважающий себя физик автоматически «выключался» при одном только упоминании имени Кантора, порывался убежать за тридевять земель от всякого, заявляющего о научных ценностях числа C , и всех желающих слушать с готовностью уверял в том, что все подобные заявления были приняты, рассмотрены и найдены беспочвенными.Поддержали меня в то время только предположения С. Улама (совершенно завораживающие, несмотря на отсутствие должной проработки и неприятие общественностью) относительно возможной роли научной работы множеств при изучении гравитационного равновесия в звездных скоплениях (см.
[570]).
Чтобы опубликовать работу о канторовой пыли, мне пришлось из нее всякое упоминание имени Кантора!
Однако случилось так, что Природа сама привела нас к множеству C .В главе 19 мы поговорим еще об одной, совершенно иной, физической роли для C . Все это призвано подчеркнуть, что истинная природа канторовой пыли весьма разнообразна.
Несомненно, в большинстве случаев само множество C представляет собой весьма грубую модель, нуждающуюся в задаче уточнениях. И все же я настаиваю, что самые свойства, которыми признаны канторовы дисконтинуумы патологией, незаменимы при моделировании перемежаемости и быть сохранены в первых, более реалистичных, заменителях этих множеств.
Рис. 120 и 121. КАНТОРОВЫ ТРОИЧНЫЕ ГРЕБЕНЬ И БРИКЕТ (РАЗМЕРНОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ D = ln2 / ln3 = 0,6309 ). КОЛЬЦА САТУРНА. КАНТОРОВЫ ЗАНАВЕСЫ
Инициатором для канторовой служить интервал [0, 1], а генератор имеет следующий вид:
Рис.
120. Канторову пыль необычайно трудно изобразить на рисунке, так как она настолько тонка и разрежена, что практически невидима.Для получения хоть-нибудь представления ее формы, утолщим исходный интервал и назовем результат канторовым гребнем. <Строго говоря, у нас получится декартово произведение искусства длины пыли 1 на отрезок длины 0,03. ?
Створаживание. Построение канторова гребня описывается процесс, который я назвал створаживанием. Сначала изобразим стержень круглого сечения (в проекции получится прямоугольник с использованием «высота / длина», равным 0,03). Удобнее всего представить, что материал, из которого изготовлен стержень, имеет очень малую плотность.Материал затем стержня начинает «створаживаться», смещаясь из средней трети стержня к его крайним третям, причем последнее остается при этом неизменным. Приство створаживание имеет уходит из средних третей каждой из крайних третей уже в их собственные крайние трети и так далее до бесконечности.
В пределе мы получим бесконечно большое количество бесконечно тонких пластин бесконечно большой плотности. Эти распределены вдоль прямого производственного процесса.На рисунке œ последняя строкаличима от предпоследней; каждый из элементов последней строки выглядит просто как темная линия, тогда как на самом деле представляет собой две тонкие пластины, разделенные пустым промежутком.
Канторов брикет. Выберем в качестве исходного объекта для створаживания круглого корж, толщина которого значительно меньше его диаметра, и пусть тесто при створаживании разделяется на более тонкие коржи.В результате получим этакий бесконечно экстраполированный «наполеон», который можно назвать канторовым брикетом.
Кольца Сатурна. Раньше считалось, что Сатурн окружен одним сплошным кольцом. Затем была открыта щель, разделяющая кольцо, затем еще одна, и наконец «Вояджер-I» обнаружил огромное количество таких щелей, в большинстве своих очень узких. «Вояджер» также установил, что кольца прозрачны: они пропускают солнечный свет .
.. как и подобает множеству, названному «тонким и разреженным».
Таким образом, структура колец (см. [542], особенно иллюстрацию на обложке) являет собой по всей видимости, совокупность близко расположенных окружностей, причем каждой из этих окружностей расстояний от некоторой точки отсчета до некоторой точки канторовой пыли. <Специальное название для такого множества - декартово произведение канторовой пыли на окружность. Вообще говоря, мы, наверное, получим более близкую к оригиналу картинку, если умножим окружность на пыль положительной, подобную тем.? Добавление только в последнюю минуту: та же идея независимо от меня озарила и авторов [10], они соотнесли ее с уравнением Хилла; в Примечании 6 к упомянутой работе немало других соображений по существу вопроса.
Спектры. Хартер представлен в [199] спектры некоторых известных молекул; сходство этих спектров с канторовой пылью потрясает.
Рис. 121. Этот рисунок помогает представить форму канторовой пыли посредством помещения среди остальных пылевидных множеств с N = 2 и переменным размером r .
На вертикальной оси откладывается либо само значение r , изменяющееся в интервале от 0 до 1/2 (внизу), либо размерность D в интервале от 0 до 1 (вверху). Верхняя граница обоих занавесов — это полный интервал [0, 1]. Любой горизонтальный срез на каждом из рисунков представляет собой какую-либо пыль (стрелками показаны значения r = 1/3 и D = 0,6309 ).
Знаменитый греческий парадокс. Греческие философы полагается, что условием неограниченной делимости тела является его непрерывность.Очевидно, они ничего не знали о канторовой пыли.
Рис. 125. ФУНКЦИЯ КАНТОРА, ИЛИ ЧЕРТОВА ЛЕСТНИЦА (РАЗМЕРНОСТЬ D = 1, РАЗМЕРНОСТЬ МНОЖЕСТВА АБСЦИСС ПОДСТУПЕНЕЙ D ~ 0,6309). КАНТОРОВО ДВИЖЕНИЕ
Функция Кантора распределения массы вдоль канторова гребня, показанной на рис. 120. Многие называют график этой функцией чертовой лестницей — она и впрямь ведет себя весьма странно. Условимся, что и длина, и масса гребня равны 1; кроме каждой точки абсциссы R поставим в соответствие массе M (R) , содержащуюся между 0 и R .
Функция M (R) на этих интервалах остается постоянной. Учитывая, что створаживание никоим не влияет на общую массу гребня, можно заключить, что функция M (R) должна возрастать хоть где-нибудь между точкой с координатами (0, 0) и точкой с координатами (1, 1). Происходит образование бесконечно малых групп.Подробнее о странных функциях Кантора можно прочесть в работе [216].
Регуляризующие отображения. Чертова лестница может похвастаться одним выдающимся своим: с помощью ее можно указать вопи неоднородность канторова гребня в пристойно однородное и равномерное. Взяв два различных интервала одинаковой длины по вертикальной оси обратной канторовой лестницы, мы обнаружим, что масса двух соответствующих наборов пластин одинакова — хотя на вид они, как правило, отличаются.
Самым буйным цветом наука, такие регуляризующие преобразования преодолеть преграду между фрактальной иррегулярностью и математическим анализом.
Фрактальная однородность.
Распределение масс в канторовом гребне удобно использовать фрактально однородным.
Канторово движение. Как и в случае рассматриваемой в виде движения кривой Коха или движения Пеано, иногда удобно интерпретировать ординату M (R) как время.Тогда обратная функция R (M) будет определять положение точки при канторовом движении в момент времени t . Движение это в высшей степени дискретно. В главах 31 и 31 мы рассмотрим его линейные и пространственные обобщения.
Фрактальная размерность. Сумма ширины всех ступеней чертовой лестницы равна сумме высот всех этих ступеней — каждая из сумм равна 1. Следовательно, чертова лестница имеет совершенно определенную длину, равную 2. Кривая конечная длина называется спрямляемой, ее размерность D равна 1.Из этого примера хорошо видно, что размерность D = 1 вполне совместима с наличием бесконечного множества точек — при условии, что они достаточно редко разбросаны.
<Кое-кому, возможно, захочется назвать представляемым вашему вниманию кривую фрактальной, однако для этого нам придется пойти на менее строгое определение фракталов, которое бы наряду с размерностью D основывалось еще на каких-то других понятиях. ?
Сингулярные функции. Канторова лестница представляет собой неубывающую и непостоянную сингулярную функцию — сингулярную в том смысле, что она непрерывна, но не дифференцируема. Ее производная обращается в нуль почти везде, к тому же она ухитряется непрерывно изменяться на множестве, длина — т. е. линейная мера — которого стремится к нулю.
Любая неубывающая функция может быть представлена в виде некоторой сингулярной функции, некоторой функции, состоящей из дискретных скачков, некоторой дифференцируемой функции.Два последних слагаемых являются классикой в математике и широко используются в физике. Сингулярную же составляющую большинства физиков как абсолютно бесполезной патологией.
Последнее мнение является абсолютно безосновательной чепухой — это заявление можно считать лейтмотивом настоящего эссе.
Чертовы лестницы в статистической физике. Публикация этого рисунка в эссе 1977 г. привлекла к чертовым лестницам внимание физиков и послужила стимулом для исследований.Все чаще мне встречаются в книгах и статьях графики, напоминающие «занавес» на рис. 121 или занавес Фату на рис. 273. В этой связи рекомендую заглянуть в [9], где разрозненные — хотя и весьма важные — ранние исследования (например, [11], [218]) объединены с новыми разработками в данной области.
Лекции
Курс лекций «Математические модели в биологии»
читается автором для студентов 2-ого года обучения бакалавриата Биологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. Параллельно с лекциями проходят семинары (практические занятия), в ходе которых студенты получают полученные на лекциях знания и знакомятся с программными инструментами, используемым для анализа математических моделей и проведения вычислительных экспериментов.
После прохождения курса студенты сдают экзамен. Курс включает 14 лекций по 2 академических часа.
- Учебник Ризниченко Г. Ю. Лекции по математическим моделям в биологии (изд.2-е, испр. и дополн.) Издательство РХД, 2011 г. 560 стр. ISBN 978-5-93972-847-8. Предыдущее издание (значительно более краткое!) Находится в свободном доступе в сети Интернет по ссылке http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/
- Учебник Мятлев В.Д., Панченко Л.А., Ризниченко Г.Ю., Терёхин А.Т. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели (изд. 2-е, испр. И дополн.) М .: Издательство Юрайт, 2018. — 321 с. — (Серия: Университеты России).- ISBN 978-5-534-01698-7.
- Учебное пособие Плюснина Т.Ю., Фурсова П. В., Тёрлова Л. Д., Ризниченко Г. Ю. Математические модели в биологии (Изд. 2-е доп. Учебное пособие. М.-Ижевск: НИЦ: «Регулярная и хаотическая динамика», 2014. 136 с. ISBN: 978-5-4344-0224-8) — электронная версия
Лекции будут прочитаны в дистанционном режиме с сентября по декабрь 2020 года.
Лекция 1 .Вводная. Одно уравнение. Устойчивость
Часть 1. Введение. Понятие модели. Объекты, цели и методы моделирования. Модели в разных науках. Компьютерные и математические модели. История первых моделей в биологии. Современная классификация моделей биологических процессов. Регрессионные, имитационные, качественные модели. Принципы имитационного моделирования и примеры моделей. Специфика моделирования живых систем.
Часть 2. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка. Модели, приводящие к одному дифференциальному уравнению. Понятие решения одного автономного дифференциального уравнения. Стационарное состояние (состояние равновесия). Устойчивость состояния равновесия. Методы оценки устойчивости.
Лекция 2 . Модели роста популяций (1)
Непрерывные модели: экспоненциальный рост, логистический рост, модели с наименьшей критической модели.
Модель роста человечества.Модели с неперекрыва поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях решения: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.
Модель роста человечества.Модели с неперекрыва поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Диаграмма и лестница Ламерея. Типы решений при разных значениях решения: монотонные и затухающие решения, циклы, квазистохастическое поведение, вспышки численности. Матричные модели популяций. Влияние запаздывания. Вероятностные модели популяций.Лекция 3 . Модели роста популяций (2). Модели, описываемые системы двух автономных дифференциальных
Часть 1.Матричные модели популяций.
Часть 2. Модели, описываемые системы двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Метод Ляпунова линеаризации систем в окрестностях стационарного состояния. Метод функции Ляпунова.
Лекция 4 . Базовые модели математической биологии, представленные автономными уравнениями
Примеры устойчивости стационарных состояний моделей биологических систем.
Химические реакции первого порядка. Уравнения Лотки. Уравнения Вольтерра.Лекция 5 . Мультистационарные системы. Типы бифуркаций. Катастрофы
Триггер. Примеры систем с двумя устойчивыми стационарными состояниями. Силовое и параметрическое переключение триггера. Эволюция. Отбор одного из двух и нескольких равноправных видов. Конкуренция двух видов неограниченного роста. Генетический триггер Жакоба и Моно.Бифуркации динамических систем. Типы бифуркаций. Бифуркационные диаграммы и фазопараметрические портреты. Катастрофы.
- Программа: Мультистационарные системы
- Учебник: Мультистационарные системы
- Учебник: Проблема быстрых и медленных чисел. Теорема Тихонова. Типы бифуркаций. Катастрофы
- Материалы по теории катастроф:
- Арнольд В.И. Теория катастрофы // Наука и жизнь, 1989, № 10
- Арнольд В.И. Теория катастроф // Динамические системы — 5, Итоги науки и техн.
- Арнольд В.И. Теория катастроф. М., Наука, 1990 — 128 с.
- Просмотр лекции в YouTube
- Загрузить видео (MP4)
- Демонстрация PowerPoint с голосовым сопровождением
Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5, ВИНИТИ, М., 1986, 219–277Лекция 6 .Проблема быстрых и медленных парт. Теорема Тихонова
Метод квазистационарных концентраций. Теорема Тихонова. Уравнение Михаэлиса-Ментен. Формула Моно. Конкуренция двух видов, питающихся одинаковым субстратом.
Лекция 7 . Колебания в биологических системах
Понятие автоколебаний. Изображение поведения автебательной системы на фазовой плоскости. Предельные циклы. Условия существования предельных циклов.Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний. Модель Брюсселятор. Примеры автобебательных моделей процессов в живых системах.
Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Автоколебания в модели гликолиза. Внутриклеточные колебания кальция.Лекция 8 . Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Фракталы
Основные понятия теории динамических систем.Предельные числа. Аттракторы. Странные аттракторы. Динамический хаос. Линейный анализ устойчивости траекторий. Диссипативные системы. Устойчивость хаотических решений. Размерность странных аттракторов. Стационарные состояния и динамические режимы в сообществе из трех видов. Динамический хаос в моделях взаимодействия видов. Трофические системы с фиксированным количеством вещества. Модель системы четырех биологических видов.
Фракталы и фрактальная размерность. Кривая Коха. Треугольник и салфетка Серпинского.Канторово множество. Канторов стержень, чертова лестница. Примеры фрактальных множеств в живых системах. Формирование крон деревьев. Альвеолы легких. Мембраны митохондрий.
Лекция 9 .
Модели встречи видов
Гипотезы Вольтерра. Аналогии с химической кинетикой. Вольтерровские модели взаимодействий. Классификация типов взаимодействий. Конкуренция. Хищник-жертва. Обобщенные модели взаимодействия видов. Модель Колмогорова.Модель взаимодействия двух видов насекомых МакАртура. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.
Лекция 10 . Моделирование микробных популяций. Модели эпидемий
Моделирование микробных популяций. Микробные популяции как объект моделирования и управления. Непрерывная культура микроорганизмов. Модель Моно. Микроэволюционные процессы в микробных популяциях. Возрастные распределения. Двухвозрастная модель.Непрерывные возрастные распределения.
Модели эпидемий. Эпидемия в замкнутой популяции. Эпидемиологическая кривая. Классическая модель SIR. Базовое репродуктивное число инфекции. Модель COVID-19.
Лекция 11 .
Распределенные биологические системы
Уравнение реакции-диффузия. Почему возникают периодические структуры и волны. ААктивные кинетические среды в живых системах. Проблема формообразования.Распространение возбуждения. Пространственные структуры и автоволновые процессы в химических и биохимических реакциях.
Уравнение диффузии. Начальные и граничные условия. Решение уравнения диффузии. Решение однородного уравнения диффузии с нулевыми граничными условиями. Метод разделения чисел. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями. Решение общей краевой задачи. Линейный анализ устойчивости гомогенных стационарных решений одного уравнения типа реакция-диффузия.
Устойчивость однородных стационарных решений системы двух решений типа реакция-диффузия. Диссипативные структуры. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния. Зависимость неустойчивости от волнового числа.
Неустойчивость Тьюринга. Линейный анализ устойчивости гомогенного стационарного состояния распределенного Брюсселятора. Диссипативные структуры вблизи порога неустойчивости. Локализованные диссипативные структуры. Линейный анализ системы реакции-электродиффузия.Типы пространственно-временных режимов.Контрольная работа
Лекция 12 . Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных
Распределенные триггеры и морфогенез. Модели раскраски шкур животных. Дифференциация и морфогенез. Модель генетического триггера с диффузией (Чернавский и др.). Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния.Генетический триггер с учетом диффузии субстратов. Модель гидры Гирера-Майнхардта. Моделирование раскраски шкур животных. Модели агрегации амеб.
Лекция 13 . Распространение импульсов, фронтов и волн. Модели распространения нервного импульса.
Автоволновые процессы и сердечные аритмии
Распространение импульсов, фронтов и волн. Модель распространения фронта волны Петровского-Колмогорова-Пискунова-Фишера.Взаимодействие процессов размножения и диффузии. Локальные функции размножения. Автомодельная переменная. Распространение амброзиевого листоеда.
Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии. Распространение нервного импульса. Опыты и модель Ходчкина-Хаксли. Редуцированная модель ФитцХью-Нагумо. Возбудимый элемент локальной системы. Подпороговое и надпороговое возбуждение. Бегущие импульссы. Детальные модели кардиоцитов. Аксиоматические модели возбудимой среды.Автоволновые процессы и сердечные аритмии.
Реакция Белоусова-Жаботинского — базовая модель нелинейного пространственно-временного поведения. Модель образования зон кислотного и щелочного рН вдоль мембраны клеточной водоросли Chara corallina .
Лекция 14 .
Молекулярное моделирование
Иерархия масштабов биологических систем и типов моделей. Квантово-механические методы. Основы метода молекулярной динамики.Рентгеноструктурные данные. Библиотеки фрагментов. Генерация трехмерных координат. Потенциалы молекулярных взаимодействий. Совмещение молекулярных полей. Принципы структуры белков. Моделирование белков по гомологии. Процедуры оптимизации. Валидация моделей белков. Виртуальный скрининг и докинг. Разработка лекарственных средств с использованием методов молекулярного моделирования. Компьютерные пакеты.
Лекция 15 . Кинетические и Монте Карло модели процессов в фотосинтетической мембране
Модели биологического электронного транспорта.Окислительно-восстановительные реакции в растворе и в мультиферментных комплексах, локализованных в мембране. Процессы в энергопреобразующих мембранах митохондрий и хлоропластов. Перенос электрона в мультиферментном комплексе.
Графы состояний. Примеры переноса электрона в комплексах двух и трех переносчиков. Обмен электронами комплекса с подвижными переносчиками. Модель переноса электронов в изолированной фотосистеме 2. Упрощенная и детальная кинетические модели моделирования фотосистем 1 и 2. Метод Монте-Карло моделирования процессов в ансамблях фотосинтетических цепей.Лекция 16 . Броуновские и молекулярные модели первичных процессов фотосинтеза
Компьютерное многочастичное моделирование. Броуновское движение подвижных переносчиков и их электростатические движения с мембранными комплексами. Броуновское описание образования предварительного комплекса белков — донора и акцептора электрона. Молекулярное описание процессов образования финального комплекса. Роль сложного интерьера клетки в кинетике наблюдаемых процессов.Модели, использующие разные типы описания процессов в фотосинтетической мембране: электронный транспорт внутри комплексов, взаимодействие подвижных белков-переносчиков с фотосинтетическим реакционным центром, пространственно-временная эволюция протонного потенциала.
